有两条角平分线相等的三角形是等腰三角形吗？

怎么证？

2025-02-26 05:41:27

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回答1：

证明：设CF、BE交于O
BE是角平分线推出：BC/CE=AB/AE，
同理：BC/BD=AC/AD，
∵∴BD=CE
∴AB/AE=AC/AD（等量代换）
∵∠A是公共角
∴三角形ACD∽三角形ABE
∴∠ACD=∠ABE，
∠BDC=∠BEC，
BD=CE，
∴三角形BOD≌三角形OEC，
∴OB=OC且∠DBE=∠ECD，OB=OC
∴∠OBC=∠OCB，
∴∠ABC=∠ACB，
∴AB=AC
∴三角形是等腰三角形

回答2：

在一个三角形里有两条角平分线相等，那么这是一个等腰三角形。（斯坦纳——雷米欧司定理）
根据这定理很容易证出该三角形是等边三角形。

下面是这定理的证明：
设CF、BE交于O
BE是角平分线推出：BC/CE=AB/AE，同理：BC/BD=AC/AD，因为BD=CE，所以等量代换得出：
AB/AE=AC/AD，角A是公共角，所以三角形ACD与ABE相似，所以LACD=LABE，同理LBDC=LBEC，再加上BD=CE，所以三角形BOD全等于三角形OEC，所以OB=OC且LDBE=LECD，OB=OC推出LOBC=LOCB，再等量代换得到LABC=LACB，所以AB=AC