如何证明f（x）=sinx在R上一致收敛？

因为f'(x)=cosx在R上有界，

所以f(x)=sinx在R上一致连续，

因为f(x)=sinx在R上是连续的周期函数，

所以f(x)=sinx在R上一致连续。

定义方式与数列收敛类似。柯西收敛准则：关于函数f(x)在点x0处的收敛定义。对于任意实数b>0，存在c>0，对任意x1，x2满足0<|x1-x0|

相关证明

设一个过原点的线，同x轴正半部分得到一个角θ，并与单位圆相交。这个交点的y坐标等于 sinθ。在这个图形中的三角形确保了这个公式；半径等于斜边并有长度 1，所以有了 sinθ=y/1。

单位圆可以被认为是通过改变邻边和对边的长度并保持斜边等于 1 查看无限数目的三角形的一种方式。即sinθ=AB，与y轴正方向一样时正，否则为负，对于大于 2π 或小于 0 的角度，简单的继续绕单位圆旋转。在这种方式下，正弦变成了周期为 2π的周期函数。

因为f'(x)=cosx在R上有界

所以f(x)=sinx在R上一致连续

因为f(x)=sinx在R上是连续的周期函数

所以f(x)=sinx在R上一致连续

扩展资料：

设一个过原点的线，同x轴正半部分得到一个角θ，并与单位圆相交。这个交点的y坐标等于 sinθ。在这个图形中的三角形确保了这个公式；半径等于斜边并有长度 1，所以有了 sinθ=y/1。

单位圆可以被认为是通过改变邻边和对边的长度并保持斜边等于 1 查看无限数目的三角形的一种方式。即sinθ=AB，与y轴正方向一样时正，否则为负，对于大于 2π 或小于 0 的角度，简单的继续绕单位圆旋转。在这种方式下，正弦变成了周期为 2π的周期函数。

基本初等函数在闭区域都一致连续一致收敛，sinx为周期函数，所以sinx在R上一致收敛
但这种答题就失去了出题的意义，既然作业或考试，应该根据定义或判断定理证明
柯西一致收敛判定定理
|x1-x2|<δ(ε)=ε
|f(x1)-f(x2)|=|sinx1-sinx2|
=2|sin[(x1-x2)/2]*cos[(x1+x2)/2]|
<=2|sin[(x1-x2)/2]|~|x1-x2|<δ(ε)=ε
……

有好几种证明方法：这里举两个例子
（1）因为f'(x)=cosx在R上有界，所以f(x)=sinx在R上一致连续

（2）因为f(x)=sinx在R上是连续的周期函数，所以f(x)=sinx在R上一致连续