∫x^3⼀√(1+x^2)dx

1/3（1-x^2)^(3/2)-√(1-x^2)+C

解题过程如下：

∫x^3/√(1-x^2)dx

=∫x^2*x/√(1-x^2)dx

=1/2∫x^2/√(1-x^2)dx^2；

令√(1-x^2)=t,

则x^2=1-t^2,dx^2=d(1-t^2)=-2tdt

,则原式可化为

∫(t^2-1)dt

=1/3t^3-t+C

=1/3（1-x^2)^(3/2)-√(1-x^2)+C

扩展资料

分部积分：

(uv)'=u'v+uv'

得：u'v=(uv)'-uv'

两边积分得：∫ u'v dx=∫ (uv)' dx - ∫ uv' dx

即：∫ u'v dx = uv - ∫ uv' d,这就是分部积分公式

也可简写为：∫ v du = uv - ∫ u dv

常用积分公式：

1、∫ a dx = ax + C，a和C都是常数

2、∫ x^a dx = [x^(a + 1)]/(a + 1) + C，其中a为常数且 a ≠ -1

3、∫ 1/x dx = ln|x| + C

4、∫ a^x dx = (1/lna)a^x + C，其中a > 0 且 a ≠ 1

函数的积分表示了函数在某个区域上的整体性质，改变函数某点的取值不会改变它的积分值。对于黎曼可积的函数，改变有限个点的取值，其积分不变。对于勒贝格可积的函数，某个测度为0的集合上的函数值改变，不会影响它的积分值。

如果两个函数几乎处处相同，那么它们的积分相同。如果对  中任意元素A，可积函数f在A上的积分总等于（大于等于）可积函数g在A上的积分，那么f几乎处处等于（大于等于）g。

令√(1+x²)=t
则x²=t²-1
d(x²)=d(t²-1)=2tdt
原式=½ ∫x²/√(1+x^2)d(x²)
=½ ∫(t²-1)/t · 2tdt
=∫(t²-1)dt
=t^3 /3 -t +C
=(1+x²)^(3/2) /3 -√(1+x²) +C

简单分析一下即可，详情如图所示

如图