∫(-x^2-2)⼀(x^2+x+1)^2 dx

∫du/(u²+a²)²=(1/2a²)∫[(-u²+a²)/(u²+a²)²+1/(u²+a²)]du【这是拆项，把中括号内通分还原就明白了】

=(1/2a²){∫d[u/(u²+a²)]+∫du/(u²+a²)}【因为d[u/(u²+a²)]=[(u²+a²)-2u²]du/(u²+a²)²=[(-u²+a²)/(u²+a²)²]du】

=u/[2a²(u²+a²)]+(1/2a²)∫du/(u²+a²).

扩展资料

一、不定积分求法：

1、积分公式法。直接利用积分公式求出不定积分。

2、换元积分法。换元积分法可分为第一类换元法与第二类换元法。

3、分部积分法。设函数和u，v具有连续导数，则d(uv)=udv+vdu。移项得到udv=d(uv)-vdu 

两边积分，得分部积分公式∫udv=uv-∫vdu。

二、不定积分的积分公式主要有如下几类：含ax+b的积分、含√（a+bx）的积分、含有x^2±α^2的积分、含有ax^2+b（a>0）的积分、含有√（a²+x^2） （a>0）的积分等等：

含有x^2±α^2的积分

∫du/(u²+a²)²=(1/2a²)∫[(-u²+a²)/(u²+a²)²+1/(u²+a²)]du【这是拆项，把中括号内通分还原就明白了】

=(1/2a²){∫d[u/(u²+a²)]+∫du/(u²+a²)}【因为d[u/(u²+a²)]=[(u²+a²)-2u²]du/(u²+a²)²=[(-u²+a²)/(u²+a²)²]du】

=u/[2a²(u²+a²)]+(1/2a²)∫du/(u²+a²).

扩展资料

不定积分的公式

1、∫ a dx = ax + C，a和C都是常数

2、∫ x^a dx = [x^(a + 1)]/(a + 1) + C，其中a为常数且 a ≠ -1

3、∫ 1/x dx = ln|x| + C

4、∫ a^x dx = (1/lna)a^x + C，其中a > 0 且 a ≠ 1

5、∫ e^x dx = e^x + C

6、∫ cosx dx = sinx + C

7、∫ sinx dx = - cosx + C

8、∫ cotx dx = ln|sinx| + C = - ln|cscx| + C

9、∫ tanx dx = - ln|cosx| + C = ln|secx| + C

10、∫ secx dx =ln|cot(x/2)| + C = (1/2)ln|(1 + sinx)/(1 - sinx)| + C = - ln|secx - tanx| + C = ln|secx + tanx| + C

你是问为什么∫du/(u²+a²)²=(1/2a²)[u/(u²+a²)+∫du/(u²+a²)]，对吗？
如果是这么个问题，则解释如下：
∫du/(u²+a²)²=(1/2a²)∫[(-u²+a²)/(u²+a²)²+1/(u²+a²)]du【这是拆项，把中括号内通分还原就明白了】
=(1/2a²){∫d[u/(u²+a²)]+∫du/(u²+a²)}【因为d[u/(u²+a²)]=[(u²+a²)-2u²]du/(u²+a²)²=[(-u²+a²)/(u²+a²)²]du】
=u/[2a²(u²+a²)]+(1/2a²)∫du/(u²+a²).

就是公式28，详情如图所示

有任何疑惑，欢迎追问

∫dx/(x^2)(x+1)
=∫[1/x^2-1/(x(x+1))]dx
=∫(1/x^2-1/x+1/(x+1))dx
=∫1/x^2
dx-∫1/x
dx+∫1/(x+1)dx
=
-1/x-ln|x|+ln|x+1|+C
C是任意常数。
题目是对有理函数积分，所以关键在于如何把有理函数拆分，化成简单的形式。