证明：||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|.

画韦恩图是一种办法。或者你可以这样想，a∪b包含了所有这样的元素：情况1：此元素属于a但不属于b。情况2：此元素属于b但不属于a。情况3：此元素即属于a又属于b。a+b包含了所有这样的元素：所有属于a的元素和所有属于b的元素。但是其中，有的元素既属于a又属于b，a+b把这样的元素算了两边，所以需要减去这样的元素的集合，即a∩b，才能得到a∪b包含的元素。所以说，a∪b=a+b-a∩b。

||a|-|b||、|a±b|、|a|+|b|均为非负数，因此可以分别比较其平方的大小
平方分别为：
（||a|-|b||）＾2＝a^2-2|a||b|+b^2------------1
(|a±b|)^2=(a±b)^2=a^2±2ab+b^2-------------2
(|a|+|b|)^2=a^2+2|a||b|+b^2---------------3
2-1得
2|a||b|±2ab＝2|ab|±2ab≥0（一个数的绝对值肯定大于等于这个数本身）
所以2式≥2式
3－2得：
2|a||b|±2ab与2－1一样，
所以3式≥2式
所以3式≥2式≥2式
得到||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|

因为|a|
|b|
|a±b|
当向量
a
b
不在一个方向时
它们组成向量三角形
|a|
|b|
|a±b|为三角形的三边长
|a|+|b|>|a±b|>||a|-|b||
当向量a,b同向时
|a|+|b|≥|a±b|≥||a|-|b||
当向量a,b反向时
|a|+|b|≥|a±b|≥||a|-|b||
综上所诉
原命题成立

b