连续函数在闭区间上的最大最小值定理证明是什么？

当函数f(x)在闭区间[a,b]上是连续函数时，存在c属于[a,b]，d属于[a,b],有f(c)≤f(x)≤f(d),x∈[a,b]成立。

在数学分析中，极值定理说明如果实函数f(x)在闭区间[a,b]上是连续函数，则它一定存在至少一个的最大值和最小值，即[a,b]区间内至少存在两点存在x1和x2，对任意

 恒有

有界闭区域上的二元连续函数也有类似于一元函数的最值定理。同理，根据有界性定理，可得在闭区间[a,b]内的连续函数f在该区间上有界，即存在实数m和M，使得：m≤f(x)≤M。

这表明极值定理强化了有界性定理，它表明函数不仅是有界的，而且它的最小上界就是最大值，最大下界就是最小值。

扩展资料：

证明最值定理的基本步骤为：

1、证明有界性定理。

2、寻找一个序列，它的像收敛于f(x)的最小上界。

3、证明存在一个子序列，它收敛于定义域内的一个点。

4、用连续性来证明子序列的像收敛于最小上界。

5、同理证明最大下界。

用有界性定理来证明
设闭区间是[a,b],连续函数为f(x).
根据有界性定理，函数f(x)所有取值得到的集合，必然是有界数集，所以必有上确界和下确界。
然后考虑不等式a≤f(xn)≤a+1/n
其中{xn}是有界数列，根据Bolzano-Weierstrass定理，存在收敛子数列{xnk}
使得其极限是t,且t∈[a,b]
且有a≤f(xnk)≤a+1/nk, k=1,2,3,⋯
令k→∞，由极限的夹逼性与f(x)在点t的连续性，得到
f(t)=a
则f(x)在[a,b]取得最小值。

类似的，可以证明有最大值。