两根之和两根之积公式推导

设一元二次方程：ax^2+bx+c=0（a,b,c属于R 且a不等于0）可推出：

ax²+bx+c=0,(a≠0)即a(x²+bx/a+c/a)=0 
的两根为x1,x2

则原方程等同于方程：a(x-x1)(x-x2)=0

即a[x²-(x1+x2)x+x1x2]=0 

对比1，2式可得：

x1+x2=-b/a
x1*x2=c/a

扩展资料

韦达定理由来：

法国数学家弗朗索瓦·韦达于1615年在著作《论方程的识别与订正》中改进了三、四次方程的解法，还对n=2、3的情形，建立了方程根与系数之间的关系，现代称之为韦达定理。 

韦达最早发现代数方程的根与系数之间有这种关系，因此，人们把这个关系称为韦达定理。韦达在16世纪就得出这个定理，证明这个定理要依靠代数基本定理，而代数基本定理却是在1799年才由高斯作出第一个实质性的论性。

韦达定理在求根的对称函数，讨论二次方程根的符号、解对称方程组以及解一些有关二次曲线的问题都凸显出独特的作用。

一元二次方程的根的判别式为（a，b，c分别为一元二次方程的二次项系数，一次项系数和常数项）。韦达定理与根的判别式的关系更是密不可分。

参考资料：百度百科—韦达定理

具体见图：

两根之和两根之积的公式也叫韦达定理：

韦达定理说明了一元n次方程中根和系数之间的关系。法国数学家韦达最早发现代数方程的根与系数之间有这种关系，因此，人们把这个关系称为韦达定理。

扩展资料：

逆定理

如果两数α和β满足如下关系：α+β=  ，α·β=  ，那么这两个数α和β是方程  的根。

通过韦达定理的逆定理，可以利用两数的和积关系构造一元二次方程。

推广定理

韦达定理不仅可以说明一元二次方程根与系数的关系，还可以推广说明一元n次方程根与系数的关系。

定理：

设  （i=1、2、3、……n）是方程：  的n个根，记  （k为整数），则有： 。

定理1n次多项式f ( x )至多有n个不同的根。

定理2 (笛卡尔符号律)　多项式函数f ( x )的正实根个数等于f ( x )的非零系数的符号变化个数,或者等于比该变化个数小一个偶数的数; f ( x )的负实根个数等于f ( - x)的非零系数的符号变化个数,或者等于比该变化个数小一个偶数的数。

定理3　数c是f ( x )的根的充分必要条件是f ( x )能被x - c整除。

定理4 　每个次数大于0 的实系数多项式都可以分解为实系数的一次和二次不可约因式的乘积。

定理5 设(1 )式中Pi =0 ,1 ,*,n , ai∈ ,即f ( x )是整系数多项式,若an≠0 ,且有理数u/ v是f ( x )的一个根, u∈ , v∈ * ,( u , v) =1 ,那么:

(i )　v | a0 , u | an;

(ii) f ( x ) / ( x - u/ v)是一个整系数多项式。

定理6 (根的上下界定理)设(1 )式中a0 >0 ,

1 )　若存在正实数M ,当用x - M去对f ( x )作综合除法时第三行数字仅出现正数或0 ,那么M就

是f ( x )的根的一个上界;

2 )若存在不大于0 的实数m ,当用x - m去对f ( x )作综合除法时第三行数字交替地出现正数(或

0 )和负数(或0 )时,那么m就是f ( x )的根的一个下界。

定理7 (判断根上下界的牛顿法)[　设有实数k ,使f ( k) , f′(k) ,*,f(m)( k) ,*f(n)( k)均为非负数,或均为非正数,则方程f ( x ) =0 的实根都小于k.这里f(m)( x )表示f ( x )的m阶导数。

参考资料：百度百科——韦达定理

两根之和两根之积的公式也叫韦达定理：

韦达定理说明了一元n次方程中根和系数之间的关系。法国数学家韦达最早发现代数方程的根与系数之间有这种关系，因此，人们把这个关系称为韦达定理。历史是有趣的，韦达在16世纪就得出这个定理，证明这个定理要依靠代数基本定理，而代数基本定理却是在1799年才由高斯作出第一个实质性的论证。 韦达定理在方程论中有着广泛的应用。

韦达的贡献：

韦达定理证明了一元n次方程中根和系数之间的关系。

这里讲一元二次方程两根之间的关系。

一元二次方程aX²+bX+C=0﹙a≠0﹚中，两根X1,X2有如下关系：X1+X2=-b/a，X1·X2=c/a

韦达最重要的贡献是对代数学的推进，他最早系统地引入代数符号，推进了方程论的发展。韦达用“分析”这个词来概括当时代数的内容和方法。他创设了大量的代数符号，用字母代替未知数，系统阐述并改良了三、四次方程的解法，指出了根与系数之间的关系。给出三次方程不可约情形的三角解法。主要著有《分析法入门》、《论方程的识别与修正》、《分析五章》、《应用于三角形的数学定律》。