怎样求两个数的“最大公因数”和“最小公倍数”？

一、几种常见的求两个数的最小公倍数的方法。 1、找倍数法（列举法）。 方法1、找出两个数的倍数，再找出两个数的公倍数和最小公倍数 例如：求6和8的最小公倍数。 6的倍数有：6，12，18，24，30，36，42，48，…… 8的倍数有：8，16，24，32，40，48，…… 6和8的公倍数：24，48，……其中24是6和8的最小公倍数。 这种方法是先分别写出各自的倍数，再找出它们的公倍数，然后在公倍数里找出它们的最小公倍数。 方法2：先找出较大数的倍数，再找出其中哪些是较小的倍数，最后找出它们的最小公倍数 找出8和6的公倍数和最小公倍数 8的倍数有：8、16、24、32 、40、48 、56、64...... 其中：24、48......也是6的倍数。 8和6的公倍数有24、48.......。 最小公倍数是：24. 2、分解质因数法。 我们也可以利用分解质因数的方法，比较简便地求出两个数的最小公倍数。 例如：求60和42的最小公倍数。 60=2×2×3×5 42=2 ×3 ×7 60和42的最小公倍数=2×3×2×5×7=420 。 这种方法是把60和42分别质因数后，观察相同的质因数只取一个（如2，3），把各自独有的质因数全部乘进去，所得的积就是这两个数的最小公倍数。 3、短除法。 用短除法求18和24的最小公倍数。 2 18 24 …………先同时除以公因数2 3 9 12 …………再同时除以公因数3 3 4 ……..... 除到两个商只有公因数1为止。 把所有的除数和最后的两个商连乘，得到：18和24的最小公倍数是 2×3×3×4＝72， 可表示为[18,24]＝2×3×3×4＝72。 用短除法求两个数的最小公倍数，一般都用这两个数除以它们的公因数，一直除到所得的两个商只有公因数1为止。把所有的除数和最后的两个商连乘起来，就得到这两个数的最小公倍数。 4、观察法。 （1）如果a．b是互质数（共同因数只有1），那么a.b的最小公倍数是a×b。 如：求4和5的最小公倍数。 4和5是互质数，那么4和5的最小公倍数是4×5=20 。 （2）如果两个数中，较大的数是较小数的倍数，那么较大的数是这两个数的最小公倍数。 如：求16和8的最小公倍数。 16是8的倍数，那么16就是16和8的最小公倍数。 后面三种方法实际上是在列举法的基础上而拓展出来的。引导学生总结出阿里以后，以方便学生解决数学问题。 二、练习题 1、用（列举法）找出下列两个数的公倍数和最小公倍数 8和12 8和6 9和12 5和6 4和6 9和6 5和10 12和18 8和12 15和5 5和4 24和18 3和12 6和18 18和9 15和30 45和15 12和24 7和14 13和26 7和21 6和30 2、用短除法或者分解质因数法求几个数的最小公倍数。 25和30 24和30 39和78 60和84 18和20 12和60 45和75 12和24 12和14 45和60 76和80 36和60 4、用观察法写出下列两个数的最小公倍数 12和6 的最小公倍数是 ， 5和15 的最小公倍数是 9 和3的最小公倍数是 ， 15和45的最小公倍数是 27和9的最小公倍数是 ， 18和9的最小公倍数是 ， 7和9的最小公倍数是 ， 5和9的最小公倍数是 ， 3和4的最小公倍数是 ， 11和3的最小公倍数是 ， 17和3的最小公倍数是 ， 7和12的最小公倍数是 ，
先把两个数的
写出来，
最小公倍数等于它们所有的
的乘积（如果有几个
相同，则比较两数中哪个数有该质因数的个数较多，乘较多的次数）。
就是如果出现重复的质因数，取最多的那组，不重复的质因数都要乘上去.

比如求36和15的最小公倍数
36=2×2×3×3
15=3×5
不同的质因数是2、3、5。3这个质因数在36中比较多，有两个，所以乘两次；2是36的质因数,出现了两次, 要乘上去, 5只在15的因数里出现, 也要乘上去,
所以36和15的最小公倍数等于2×2×3×3×5=180

再如求12、18、36的最小公倍数,
12=2×2×3
18=2×3×3
36=2×2×3×3
所以, 12、18、36的最小公倍数等于2×2×3×3=36

方法一：列举法。先找出两个数各自的倍数，从中找出最小的一个。
方法二：分解质因数法。分别把两个数分解质因数，然后相同的质因数取一个，独有的质因数都取出来，把它们相乘，积就是最小公倍数。
方法三：短除法。 把两个灵长公有的质因数按照从小到大的顺序，依次作为除数连续去除这两个数，一直除到所得的商是互质数为止，然后把所有的除数和商连乘起来，就是这两个数的最小公倍数。

先把这几个数的质因数写出来，最小公倍数等于它们所有的质因数的乘积（如果有几个质因数相同，则比较两数中哪个数有该质因数的个数较多，乘较多的次数）。比如求45和30的最小公倍数。
　　45=3*3*5
　　30=2*3*5
　　不同的质因数是2,3,5。3是他们两者都有的质因数，由于45有两个3，30只有一个3，所以计算最小公倍数的时候乘两个3.
　　最小公倍数等于2*3*3*5=90
　　又如计算36和270的最小公倍数
　　36=2*2*3*3
　　270=2*3*3*3*5
　　不同的质因数是5。2这个质因数在36中比较多，为两个，所以乘两次；3这个质因数在270个比较多，为三个，所以乘三次。
　　最小公倍数等于2*2*3*3*3*5=540
　　20和40的最小公倍数是40（2）公式法由于两个数的乘积等于这两个数的最大公约数与最小公倍数的积。即（a，b）×[a，b]=a×b。所以，求两个数的最小公倍数，就可以先求出它们的最大公约数，然后用上述公式求出它们的最小公倍数。
　　例如，求[18，20]，即得[18，20]=18×20÷（18，20）=18×20÷2=180。求几个自然数的最小公倍数，可以先求出其中两个数的最小公倍数，再求这个最小公倍数与第三个数的最小公倍数，依次求下去，直到最后一个为止。最后所得的那个最小公倍数，就是所求的几个数的最小公倍数。^[5

第一：先把这两个数分解质因数。
最大公因数就用它们公有的质因数的相乘；
最小公倍数就用它们公有的质因数相乘，再乘各自独有的质因数。
如：12和18
12＝2乘2乘3
18＝2乘3乘3
公有的质因数是2和3，独有的质因数12有2，18有3.
因此最大公因数＝2乘3＝6
最小公倍数＝2乘3乘2乘3＝36

　　最大公约数，也称最大公因数、最大公因子，指两个或多个整数共有约数中最大的一个。a，b的最大公约数记为（a，b），同样的，a，b，c的最大公约数记为（a，b，c），多个整数的最大公约数也有同样的记号。求最大公约数有多种方法，常见的有质因数分解法、短除法、辗转相除法、更相减损法。
　　质因数分解法:就是把一个合数分解成几个质数相乘的形式。

48和54
48=2*2*2*2*3
54=2*3*3*3
因此，48和54的最大公约数是：2*3=6.
　　短除法是求最大公因数的一种方法，也可用来求最小公倍数。求几个数最大公因数的方法，开始时用观察比较的方法，即:先把每个数的因数找出来，然后再找出公因数，最后在公因数中找出最大公因数.
　　辗转相除法是用来求最大公约数的．给出两个正整数a和b，用b除a得商a0，余数r，写成式子 a=a0b+r，0≤rr>r1>r2>…逐步小下来，而又都是正整数，因此经过有限步骤后一定可以找到a、b的最大公约数d(它可能是1)．这就是有名的辗转相除法，在外国称为欧几里得算法．