2008年希望杯数学竞赛试题

第19届“希望杯”全国数学邀请赛初二
第2试试题
（2008年4月13日上午9：00—11：00）
一、选择题（每小题4分，满分40分）
1．将数字“6”旋转1800，得到数字“9”；将数字“9”旋转1800，得到数字“6”；那么将两位数“69”旋转1800，得到的数字是（ ）
A、69 B、96 C、66 D、99
2．关于 的方程组 有无数组解，则 的值为（ ）
A、 B、 C、 D、
3．在平面直角坐标系内，有等腰三角形AOB，O是坐标原点，点A的坐标是 ，底边AB的中线在1、3象限的角平分线上，则点B的坐标为（ ）
A、 B、 C、 D、
4．给出两列数：（1）1，3，5，7，…，2007；（2）1，6，11，16，…，2006，则同时出现在两列数中的数的个数为（ ）
A、201 B、200 C、199 D、198
5．If one side of a triangle is 2 times of another side and it has the largest possible area, then the ratio of its three sides is ( )
A、 B、 C、 D、
（英汉小词典：possible 可能的；area面积；ratio比率、比值）
6．有面值为10元、20元、50元的人民币（每种至少一张），合计1000元，那么面值为20元的人民币有（ ）张
A、2或4 B、4 C、4或8 D、2到4之间的任意偶数
7．由1，2，3这三个数字组成四位数，在每个四位数中，这三个数字至少出现一次．这样的四位数有（ ）
A、33个 B、36个 C、37个 D、39个
8．如图1，矩形ABCD的长AD=9cm，宽AB=3cm，将它折叠，使点D与点B重合，求折叠后DE的长和折痕EF的长分别是（ ）
A、 B、
C、 D、
9．如图2，函数 的图象分别交 轴、 轴于点N、M，线段MN上两点A、B在 轴上的垂足分别为 、 ，若 ，则 的面积 与 的面积 的大小关系是（ ）
A、 B、
C、 D、不确定的
10.已知 是方程 的一个实数根，则直线 不经过（ ）
A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限
二、填空题（每小题4分，满分40分）
11．化简： ，得到 ．
12．三位数 的2倍等于 ，则 等于 ．
13．当 时，化简代数式 ，得 ．
14．已知 ，并且 ，则 等于 ．
15．If the sum of a 4-digit natural number and 17,the difference between it and 72 are all square numbers ,then the 4-digit natural number is .
（英汉小词典：4-digit natural number四位自然数；difference差；square numbers完全平方数）
16．将等腰三角形纸片ABC的底边BC折起，使点C落在腰上，这时纸片的不重合部分也是等腰三角形，则∠A= ．
17．将100只乒乓球放在n个盒子中，使得每个盒子中的乒乓球的上数都含有数字“8”，如当n=3时，箱子中的乒乓球的数目可以分别为8，8，84；若当n=5时，有且只有两个箱子中的乒乓球个数相同，那么各箱子中的乒乓球的个数分别是 ．
18．已知一个有序数组 ，现按下列方式重新写成数组 ，使
，
按照这个规律继续写出 ，…， ，若 ，则 ．
19．如图3，一束光线从点O射出，照在经过A（1，0）、B（0，1）的镜面上的点D，经AB反射后，反射光线又照到竖立在 轴位置的镜面，要使最后经 轴再反射的光线恰好通过点A，则点D的坐标为 ．
20．某条直线公路上有 共11个车站，且
，
若 ，则 km．
三、解答题（共3个小题，满分40分）
21．（本题满分10分）如图，在 中， ，AC=BC=10，CD是射线， ，点D在AB上，AF、BE分别垂直于CD（或延长线）于F、E，求EF的长．

22．（本题满分15分）在平面直角坐标系中，ΔABC满足：∠C=900，AC=2，BC=1，点A、C分别在 轴、 轴上，当点A从原点开始在 轴的正半轴上运动时，点C随着在 轴上运动．
（1）当A在原点时，求原点O到点B的距离OB；
（2）当OA=OC时，求原点O到点B的距离OB；
（3）求原点O到点B的距离OB的最大值，并确定此时图形应满足什么条件？

23．（本题满分15分）已知 是正整数．
（1）若 与 的末位数字相同，求 的最小值；
（2）若 与 的末两位数字都相同，求 的最小值；

第十九届“希望杯”全国数学邀请赛参考答案
初二 第2试
一、选择题（每小题4分，满分40分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A B A A D B B A A D

三、解答题（共3个小题，满分40分）
21．EF＝CF－CE＝5 －5
22．（1） （2） （3）O、E、B三点在一条直线上时，OB取得最大值1＋
23．（1）6 （2）20

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