八年级下学期数学知识点

第1章 二次根式

二次根式属于“数与代数”领域的内容，它是在学生学习了平方根、立方根等内容的基础上进行的，是对七年级上册“实数”“代数式”等内容的延伸和补充。二次根式的运算以整式的运算为基础，在进行二次根式的有关运算时，所使用的运算法则与整式、分式的相关法则类似；在进行二次根式的加减时，所采用的方法与合并同类项类似；在进行二次根式的乘除时，所使用的法则和公式与整式的乘法运算法则及乘法公式类似。这些都说明了前后知识之间的内在联系。
本章的主要内容有二次根式，二次根式的性质，二次根式的运算（根号内不含字母、不含分母有理化）。
一、教科书内容和教学目标
本章的教学要求。
（1）了解二次根式的概念，了解简单二次根式的字母取值范围；
（2）了解二次根式的性质；
（3）了解二次根式的加、减、乘、除的运算法则；
（4）会用二次根式的性质和运算法则进行有关实数的简单四则运算（不要求分母有理化）。
本章教材分析。
课本在回顾算术平方根的基础上，通过“合作学习”的三个问题引出二次根式的概念，并说明以前学的数的算术平方根也叫做二次根式。在例题和练习的安排上，着重体现三个方面的要求：一是求二次根式中字母的取值范围；二是求二次根式的值；三是用二次根式表示有关的问题。
对于二次根式的性质，课本利用第4页图1-2给出的。该图的含义是如果正方形的面积为，那么这个正方形的边长就是；反之，如果正方形的边长为，那么这个正方形的面积就是，因此就有。从而得出二次根式的第一个性质。至于第二个性质，可以通过学生的计算来发现，所以课本安排了一个“合作学习”，让学生自己去发现和归纳。该节第一课时的重点在于对这两个性质的理解和运用，例题和练习的设计就围绕这两个性质展开。第二课时是学习二次根式的另外两个性质，课本安排两组练习，意在让学生通过自己的尝试，与同学的合作交流来发现这两个性质。通过两个例题和一组练习，使学生知道运用二次根式的性质，可以简化实数的运算，也可以对结果是二次根式的式子进行化简。课本第9页的“探究活动”既是对二次根式的运用，更在于培养学生的一种探究能力，观察、发现、归纳等能力。
第1.3节二次根式的运算，包含了二次根式的加、减、乘、除四种运算以及简单应用，课本安排了3个课时，逐步推进，逐渐综合。第一课时侧重于两个（相当于两个单项式）二次根式的乘除，其法则是从二次根式的性质得到的，比较自然。例1是对两个运算法则的直接运用，让学生有一个对法则的熟悉和熟练过程；例2是一个结合实际问题的运用，其中有勾股定理和三角形的面积计算。第二课时是二次根式的加减和乘除混合运算，出现了类似单项式乘以多项式、多项式乘以多项式（包括乘法公式、乘方）、多项式除以单项式的运算。课本中没有出现“同类二次根式”的概念，只是提到“类似于合并同类项”“相同二次根式的项”，这种类比的方法，学生是能够理解的，也能够与整式一样进行运算。第三课时是二次根式运算的应用。例6的数字看上去比较复杂，其目的是为了二次根式的运算的应用；例7综合运用了直角三角形的有关知识、图形的分割、面积的计算等，其解答过程较长，也是对二次根式知识的综合运用。
二、本章编写特点
注重学生的观察、分析、归纳、探究等能力的培养。
在本章知识的呈现方式上，课本比较突出地体现了“问题情境——数学活动——概括——巩固、应用和拓展”的叙述模式，这种意图大多通过“合作学习” 来完成。“合作学习”为学生创设了从事观察、猜测、验证交流等数学活动的机会。如第5页先让学生计算三组与的具体数值，再议一议与的关系，然后得出二次根式的性质“=”。二次根式的其他几个性质，课本中也是采用类似的方法。在学习了二次根式的有关性质后，课本又设计了一个“探究活动”，通过化简有关的二次根式，让学生自己去发现规律、表示规律、验证规律，并与同伴交流。所有这些都是教材编写的一种导向，以引起教与学方式上的一些的改变。
注重数学知识与现实生活的联系。
教材力求克服传统观念上学习二次根式的枯燥性，避免大量纯式子的化简或计算，适当穿插实际应用或赋予式子一些实际意义。无论是学习二次根式的概念，还是学习二次根式的性质和运算，都尽可能把所学的知识与现实生活相联系，重视运用所学知识解决实际问题能力的培养。如二次根式概念的学习，课本通过三个实际问题来引入，其目的就是关注概念的实际背景与形成过程，克服机械记忆概念的学习方式。又如，课本第3页，用二次根式表示轮船航行的的距离，第11页求路标的面积，第21页花草的种植面积问题等。特别是在二次根式的运算中，专门安排了一节内容学习二次根式运算的应用，例6选取的背景是学生熟悉的滑梯，例7选取的背景是学生感兴趣的剪纸条，以及作业中的堤坝、快艇问题等等。
充分利用图形，使代数与几何有机结合。
对于数与代数的内容，教材重视有关内容的几何背景，运用几何直观帮助学生理解、解决有关代数问题，是教材的一个编写特点，也是对教学的一种导向。本章中，如二次根式与直角三角形有关边的计算密切相关，课本在这方面选取了一定量的问题，既丰富了勾股定理的运用，又学习了二次根式的计算。又如二次根式的引入，课本以图形作为条件，让学生通过计算给出二次根式的概念；在学习二次根式的性质时，课本通过让学生读图1-2，从正反两方面来理解其含义，得出二次根式的性质。例题中结合图形示意，帮助学生理解问题，解决问题；作业或课本练习中设计一些图形中有关线段长度的计算；通过方格、直角坐标系来画三角形、确定点的位置等等。课本在安排二次根式的运算在日常生活和生产实际中的应用时，所选取的问题也在于体现学生所学知识之间的联系，感受所学知识的整体性，不断丰富学生解决问题的策略，提高解决问题的能力。
三、教学建议
注意用好节前语。
本章的节前语不多，但都紧密结合本节学习的内容，提出一个具体的问题。教学中可以利用它们来创设问题情境，引入课题。如第1.1节“排球网的高AD为2.43米，CB为米，你能用代数式表示AC的长吗？”短短的几句话，既是一个学生熟悉的问题情境，又是一个看似熟悉但又具有一定的挑战怀，与数学学习相联系的问题，教师可以由此提出一个与本节课学习有关的问题。教学中不应忽视这种作用。
注意把握教学难度。
与以往的教材相比，二次根式已降低了要求。如运用二次根式的性质将二次根式化简，只要求简单的，不要出现过于复杂的式子，并且明确根号内不含字母。对二次根式的四则运算，也仅局限于简单的，根号内不含字母，教学中不需补充超出课本题目要求的问题。当然对不同层次的学生，应该体现一定的弹性。课本第15页的作业题中的第7，8题，还可以借助于计算器进行计算。
充分运用类比的方法。
二次根式的运算以整式的运算为基础，其法则、公式都与整式的类似，特别是二次根式的加减，课本没有提出同类二次根式的概念，完全参照合并同类项的方法；二次根式的乘除、乘方运算类似于整式的乘除、乘方运算。因此对于二次根式的四则运算的教学应充分运用类比的方法，让学生理解其算理和算法，提高运算能力。
第2章 一元二次方程

一、教科书内容和课程学习目标
（一）教科书内容
本章包括三节：
2．1 一元二次方程；
2．2一元二次方程的解法；
2．3一元二次方程的应用。
其中2．1节是全章的基础部分，2．2节是全章的重点内容，2．3节是知识应用和引申的内容。另外，阅读材料介绍了一元二次方程的发展，让学生了解数学的发展史。
（二）本章的知识结构

（三）课程目标
（1）了解一元二次方程的概念，会用直接开平方法解形如（b≥0）的方程；
（2）理解配方法，会用配方法解数字系数的一元二次方程；掌握一元二次方程求根公式的推导，会用求根公式解一元二次方程；会用因式分解法解一元二次方程，使学生能够根据方程的特征，灵活运用一元二次方程的各种解法求方程的根。
（3）体验用观察法、画图或计算器等手段估计方程的解的过程。
（4）能够根据具体问题中的数量关系，能够列出一元二程方程解应用题，能够发现、提出日常生活、生产或其他学科中可利用一元二次方程来解决的实际问题，并正确地用语言表达问题及解决过程。体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型。
（5）结合教学内容进一步培养学生逻辑思维能力，对学生进行辩证唯物主义观点的教育，通过一元二次方程的教学，使学生进一步获得对事物可以转化的认识。
（四）课时安排
2．1 一元二次方程…………………………………………………………2课时
其中：一元二次方程的概念……………………1课时
因式分解法解一元二次方程……………1课时
2．2一元二次方程的解法………………………………………………4课时
其中：开方法、配方法………………………2课时
公式法…………………………………2课时
2．3一元二次方程的应用………………………………………………2课时
小结、目标与评定………………………………………………………2课时
二、编写指导思想与特点
方程教学在中学数学教学中占有很大的比例，一元二次方程在初中代数中占有重要地位。一方面，一元二次方程可以看成是前面所学过的有关知识的综合运用，如有理数、实数的概念和整式、分式、开平方等的运算，一元一次方程、一元一次方程组解法等知识，在本章都有应用。从数学角度看，这一章的学习有一定难度，如果前面某个环节薄弱或知识点有问题，就会给本章的学习带来困难，因此，这一章的教学是对以前所学的有关知识的检验，又是一次复习与巩固。当然，一元二次方程知识也是前面所学知识的继续和发展，尤其是方程方面知识的深入和发展。
本章的主要内容是一元二次方程的解法和应用，课本首先引入一元二次方程的概念，从实数的性质，将分解成为两个一次因式相乘积为零的一元二次方程转化为两个一元一次方程入手，介绍了利用因式分解法解一元二次方程的方法，体现了数学的转化思想。接着课本首先从数的开平方的知识出发，直接讲开平方法，然后依次介绍了配方法和公式法。在讲述公式法的同时，课本特别给出了利用计算器解一元二次方程的解法示例，以揭示技术发展给数学学习带来的影响，这也是一种新的尝试。同时，以建立数学模型为主要着力点介绍了一元二次方程的应用，并在例题的设置上充分考虑了图表、立体图形、物体运动和经济活动中的问题背景，力图使学生在现实的环境中学习数学。
这一章是全书乃至整个初中代数的一个重点内容。因为这一部分内容既是对以前所学内容的总结、巩固和提高，又是以后学习的知识基础。因此这一章可以说是起到了承上启下的作用。高中阶段的指数方程、对数方程及三角方程，无非就是指数、对数、三角函数的有关知识与一元一次方程、一元二次方程的综合而已。初中代数中的不少主要技能、解题方法以及一些常用的数学思想方法，在本章都有所体现。例如，换元法、因式分解法、配方法等。另外，从具体到抽象的概括能力、逻辑推理能力等等在本章也有体现。可以说，无论从基础知识还是基本技能看，这一章都占有重要的地位。在本章的内容中，应以一元二次方程的解法，特别是公式法作为重点。
三、教材体现的数学思想方法
本章从内容上看是初中代数的重点，从数学思想方法方面来看，也是初中数学中比较全面体现的一章。
1．方程的思想
方程本身就提供了一种重要的数学思想方法，这一点在一元二次方程中体现的更为充分。学习方程不仅为进一步学习其他知识打下基础，不仅可用于解决一些实际问题，而且在更广泛的意义上讲，通过方程可以沟通已知与未知之间的联系，从而由解方程就可以使问题得以解决，通常称之为方程思想。方程思想作为一种数学思想，在数学发展史上有重要作用，对求解数学问题来说也有重要的意义。
2．公式解法
一元二次方程的公式解法在数学思想方法上有重要意义。首先，公式法是人们所知的多次方程的第一种公式(根式)解，它为以后进行公式解的研究开辟了道路，并且是引起近似代数的起源问题之一，在数学的学习中也有重要意义；其次，公式法解体现了数学中的算子的思想，将数学问题进行抽象化、符号化、程序化，这是数学发展的重要的途径。
3．分类讨论的数学思想
一元二次方程求根公式中，涉及开方问题，即对要实施开平方，而前面已经学过负数没有平方根。因此的状态就决定了一元二次方程根的状态。必须对的符号进行讨论。分类讨论的数学思想是一种极为重要的数学思想方法，教材中对Δ=的三种分类讨论隐含在课堂教学之中，通过“想一想”让学生自然地得到结论，降低由于数学思想上的要求所带来的学习上的难度，这是一种合理的处理方法。实际上，判别式的讨论是不解方程而对方程的根进行定性研究的重要指标。在研究二次函数的图象和性质等方面有重要意义，在研究二次曲线的问题时有重要地位。判别式实质上是利用方程的系数研究方程的性质，是一种以局部研究探求具体性质的方法。找一种关键性的数量关系去定性地研究一类对象，也是一种常见的数学思想方法。
4．转化(化归)的数学思想
在本章中更突出地表示出“转化”的思想方法。如利用因式分解法解一元二次方程就是将一元二次方程转化为两个一元一次方程。严格地说，转化的思想是数学中认识和掌握新知识的重要途径，掌握这种方法，可以提高学生的数学能力，拓展学生数学知识。如换元法就是一种很重要的转化思想，这在本章也有不少的体现。
四、教材处理
关于教材处理，按教材内容的安排及课程标准的要求，分三部分进行分析：
1．一元二次方程
本节包括一元二次方程的概念、因式分解法解一元二次方程，这一单元是本章的基础，教材两个问题中引入了一元二次方程的概念，一个问题是学生所熟悉的正方形和长方形的面积，另一个问题是从报纸上公布的统计数据，教学的重点是对方程的一般形式的认识和对方程解的理解，在此基础上，引入用因式分解法求一元二次方程解的方法，将这种解安排在此处，其目的是为了加强学生对学习方程目的的理解，并为后续通过转化求方程解奠定思想基础。
2．一元二次方程的解法
本节是本章的核心内容，主要是一元二次方程的各种解法。其中的一元二次方程的配方法和应用一元二次方程知识理解应用问题是重点，而这两个重点又是教学过程中的难点。一元二次方程的解法，尤其是公式法是学好本章的关键。因此，本节又是全章的重点，是学好本章的基础。
一元二次方程的解法，课本介绍了四种，即直接开平方法、配方法、公式法及因式分解法。
直接开平方法适用于（b≥0）模式的方程。实际上，给出的一般方程只要存在实根，就可以用配方法转化为的形式。例如，课本中将方程转化为，因此配方法是直接开方法的延伸，而直接开平方法是配方法的基础。
在配方法解一元二次方程的基础上，很自然地推出一元二次方程的求根公式，实际上就是对一般形式（a≠0)的一元二次方程实施配方法的结果。
对于三种解法，公式法可以是一种“万能”方法，只要△=≥0，将系数a，b，c代入公式即可求解。在教学中注意一元二次方程中的a≠0的条件。在配方时应强调方程两边同时加上“一次项系数之半的平方”或在左端加上“一次项系数之半的平方”再减去“一次项系数之半的平方”，实质上是方程的一种同解变形，这是必须反复训练方可达到学生熟练进行配方的目的，它也是推导求根公式的基础。
对△=的讨论，首先要渗透分类讨论的思想，另外，对△==0的情况，一定要强调有两个相等的实根：这与方程根的理论一致，学生开始会认识只有一根，要反复强调，以纠正这种不正确的或说是不严密的结论。对△=<0的情况，不能说成方程无解，而应强调方程无实数根或在实数范围内无解，强调数域是为今后在高中讨论有复根的情况埋下伏笔。理论上的证明见教师用书。
关于一元二次方程根与系数的关系，实际上，求根公式就体现了根与系数的关系，由于课程标准中没有涉及，但这部分内容对于今后的学习是很重要的，在教学中可以作为探索性学习的内容，让学生自己进行探索并得出结论。
3．一元二次方程的应用
列方程解应用问题，前面一元一次方程的应用已学习过相关的知识，但是列一元二次方程解应用题仍然是难点，其原因是数量关系比较复杂且隐蔽；应用题所反映的实际背景比较复杂而学生又不太熟悉；所列方程也逐步复杂。主观上学生一开始受算术解法思维的定势影响，缺乏广泛的社会经济生产和生活以及相关学科方面的知识，理解文字语言和数学语言等方面的能力较差。
对于求解应用题，若从思想方法角度来看，列方程解应用题属于数学模型法，其中方程应用题求解，大体上都是这样六个步骤：①审题，理解题意，明确题中涉及几个量，有几个是已知量，有几个是未知量，它们之间有什么关系等等；②设元，根据题目要求，选择合适的未知数，又分为直接设元法、间接设元法。同时还要考虑设几个未知数为宜；③列式，分析题目中量与量的关系，关键是找出题目中的相等关系，这时，要注意挖掘题目中的那些隐蔽的相等关系，有时，又要辅之使用图示法、列表法等一些直观手段；④求解；⑤检验，既要检验得到的解是否符合原方程或原方程组，又要检验所得的解对实际问题是否有意义；⑥作答，写出正确合理的答案。在教学中可以结合问题解决的策略，让学生主动参与，自主建构和合作学习，体会数学建模的基本思想与方法。

（金克勤）

第3章 频数及其分布

统计学是搜集数据、分析数据，并根据它获得总体信息的科学．本套教材在七年级上册安排了 “数据与图表”，着重介绍了数据的收集、整理的初步方法；在八年级上册安排了“样本与数据分析初步”，通过对数据集中程度和离散程度的统计量的计算，初步了解了如何对数据的基本状态进行分析．为了进一步分析、处理数据，供决策时参考，有时我们还要了解数据的分布情况，找出新的特征数．“频数及其分布”这一章就是解决了这一问题．“频数及其分布”这部分内容在原总指浙江版义务教材中也有，但只是作为概率统计初步中的一小节．考虑到频数、频率、频数直方图、频数折线图与日常生活、自然、社会和科学技术领域的密切联系，《数学课程标准》增加了这块内容的份量．本套教材将这块内容独立设章的目的，一方面可用足够的篇幅来更清楚、更详细阐述，也是为每册循序渐进地学习概率与统计知识所作的精心安排．
本章教学时间约需7课时 ，具体安排如下：
3．1 频数和频率 1课时
3．2 频数分布 1课时
3．3 频数的应用 3课时
复习、评估1课时，机动使用1课时，合计7课时．
一、教科书内容和课程教学目标
（1）本章知识结构框图如下：

（2）本章教学目标如下：
目标类别
目标层次
知识点及相关技能 知识技能目标 过程性目标
了解 理解 掌握 灵活运用 经历(感受) 体验(体会) 探索
频
数
及
其
分
布 极差 √ √
频数的概念 √ √
频数分布表 √ √
频率的概念 √ √
频数分布的意义和作用 √ √
频数分布直方图 √ √
频数分布折线图 √ √
根据频数分布直方图估计平均数 √ √

（3）本章教学要求
① 通过实例，理解频数、频率的概念，了解频数分布的意义和作用．
② 会计算极差，会对数据合理分组，并求出每一组的频数、频率，列出频数分布表．
③ 会画频数分布直方图和频数分布折线图，能根据频数分布直方图估计平均数，能根据数据处理的结果，作出合理的判断和预测，并在这一过程中体会统计对决策的作用．
④ 通过画直方图、折线图养成学生耐心细致的工作作风，实事求是的工作态度，善于观察、分析问题的能力．
二、本章编写特点
以《数学课程标准》为本，删繁就简、突出重要内容
画频数分布直方图不采用传统按部就班的逐步介绍的方法，步骤多、方法繁将会影响这个年龄段的学生学习兴趣．事实上，如3．1节做一做，“下面给出以0.4 kg为组距，取2.75～3.15、3.15～3.55……为端点”；对连续型、离散型数据的不同处理等，里面还有许多道理．不在繁琐的具体枝节上纠缠，突出重要概念，让学生体验频数、频率的真实含义，理解频数、频率分布的意义和作用才是教学的真正目的，也是本章教材编写的特点之一．
精心选择实例，贴近学生生活，引起学生兴趣
频数、频率本身就是处理实际问题，从实际中来，在解决实际问题的过程中引入概念．教材精心挑选、引入大量学生熟悉的例子，创设学生熟悉的情境，引起学生兴趣，使学生能产生解决它的欲望．扫除一定程度上因为叙述事例的冗长而引起学生反感．如血型分布、运动鞋鞋号的选择、学科成绩、午餐等候时间、矿泉水质量等等都是学生身边的事，学生熟悉且亲切．同时也培养了学生从统计的角度思考与数据信息有关的问题，通过收集、分析数据的过程能初步作出合理的决策，提高学生处理问题、决策问题的能力．
重实践操作，设计一定量的数学活动，在交流中增强数学应用意识
本章内容安排了一定量的实习操作性的活动，如“八年级男生、女生身高和所穿运动鞋的分布”“八年级学生跳绳次数的频数分布”“八年级男生、女生体重数据的分布”“商场不同价格的彩电销售情况”等，这些活动都需要学生分小组合作，事前精心设计策划，调查广泛接触不太熟悉的人和事，希望学生通过这些活动认识现实世界中蕴含的大量的数学信息，数学与现实世界有着紧密联系，增强学生的数学应用意识，也培养学生实际工作能力，从中获得克服困难经历或者体会获得成功的喜悦．
三、教学建议
（1） 画频数分布直方图的一般步骤是：①计算极差；②决定组数与组距．一般当数据在100个以内时，按照数据多少，常分为5~12组；组距是指每个小组的两个端点之间的“距离” ， = 组距；③决定分点，为了避免有些数据本身落在分点上，常常将分点多取一位小数；④列表、划记；⑤画频数分布直方图．教师根据实际情况在讲解中灵活应用，但不要完全在黑板上重复以上步骤，这样违背了教材编写的初衷．
（2） 利用频数分布表、频数直方图、频数折线图来分析数据的一些特征是教学的重点之一，教学中应该充分发挥学生的积极性，让学生仔细地观察、大胆地推测、合理地验证．“统一订购运动服、运动鞋，应注意哪些问题？”“校方安排学生多长的午餐时间为宜？”“估计鱼塘中有多少条鱼”“分析男生、女生游泳项目成绩差异”等等，不像原来数学题有唯一标准答案，应鼓励学生各抒已见，最后在充分讨论的基础上形成比较一致的意见．这是与人交流、勇于探索、比较清晰表达自己观点的重要方式，也是新课程数学教学的一个重要方面，教师可视具体情况在本章教学中尽量体现．
（3）计算繁琐，联系实际紧密是本章的主要特点．除了课本提供的范例外，教学中教师可根据实际情况进行适当补充．同时教师还应该充分利用多媒体预先制作好一些教具，不要使课堂上宝贵的时间浪费在抄写、绘图上面．
四、本章教学中应注意的问题
（1）数据有“连续型”与“离散型”两种，对离散型数据，如课本第51页的血型分组一般比较容易，对离散型数据分组不唯一，仅是根据经验，不同的分组一般得到的结论也有所差别，但只要合理均认为正确．
（2）进行实践活动时，要注意有些问题可能涉及学生的个人隐私，如较胖的女同学不愿意论及自己的体重，她认为公开自己的体重是侵犯了个人隐私权；一分钟跳绳次数比较少的同学也可能觉得没面子而出现一些不愉快事情．针对这些情况任课教师应有充分的思想准备，采取回避或选择一些合适的同学或选择另外适当的数据作调查对象等办法．我们的目的是通过一些实践活动在交流中培养互相合作的精神，与人合作中体会愉快，用数学知识解决实际问题中，增强应用数学的自信心．不要因为个别特殊原因干扰整个教学计划．
（3）直方图的纵坐标与横坐标一般来说有不同的单位，每个单位的具体长度应在比较中进行选择．最终的要求是画出来的图形比较美观，能清楚反映分布情况、及变化趋势．课本所采用画折线 的办法就是避免图形画在极端的位置．在不影响整个图形所反映基本特征的情况下，使频数直方图或频数折线图更加美观．也可以采用将学生所画的图比较展览的办法，让学生在交流中取长补短，互相吸收别人好的经验，来完善自己画图技能．

（王利明）
命题与证明

年级数学下学期（华东师大版）第17章、第18章教学建议
广州一中 戴捷

第17章 分式
分式在生产和生活中有着广泛的应用。本章书的主要内容是分式和分式的基本性质、分式的运算和分式方程。学好这些内容，对今后学习函数、方程和列方程解应用题等知识，起到非常重要的作用。
本章书分为4节：

SS17.1 分式及其基本性质（2课时）
1． 分式的概念
形如 (A、B是整式，且B中含有字母，B≠0)的式子，叫做分式.
其中 A叫做分式的分子,B叫做分式的分母.
整式和分式统称有理式。
★ 分式的判断：关键是看分母，分母中含有字母的是分式。
例1：在下列各式中，哪些是整式？哪些是分式？
， ， ， ，
2． 分式有意义
★ 分式有意义的条件是：分母不能等于零。
例2：当 取什么值时，下列分式有意义？
（1） ； （2） 。 （3）
3． 分式的值等于零
★ 分式的值等于零的条件是：分式的分子等于零且分母不等于零
例3：当 取什么值时，下列分式的值等于零？
（1） （2）
4．分式的基本性质
（其中B、M为不等于零的整式）
★ 此性质可以对分式进行约分和通分，并为后面的分式计算做好准备。
5． 分式的约分
★ 先要找出分子与分母的公因式，然后将其约去（可与分数的约分作比较）
★ 最简分式
例6：将下列各式约分
（1） ； （2）

6．分式的通分
通分的关键是确定几个分式的最简公分母。
求几个分式的最简公分母的步骤：
（1）．取各分式的分母中系数最小公倍数；
（2）．各分式的分母中所有字母或因式都要取到；
（3）．相同字母（或因式）的幂取指数最大的；
（4）．所得的系数的最小公倍数与各字母（或因式）的最高次幂的积（其中系数都取正数）即为最简公分母。
例7：将下列各式通分
（1） ， ； （2） ， ；（3） ， .
分析 ：分式的通分，即要求把几个异分母的分式分别化为与原来的分式相等的同分母的分式。通分的关键是确定几个分式的公分母；要归纳出分式分式是多项式如何确定最简公分母，一般应先将各分母分解因式，然后按上述的方法确定分母。

SS17.2 分式的运算（2课时）
1．理解掌握分式乘除法运算法则：
（1）分式乘以分式，用分子的积做积的分子，分母的积做积的分母，用式子表示为 • = ；
（2）分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后与被除式相乘，用式子表示为 ÷ = • = 。
2．能熟练地运用分式乘除法运算法则进行分式的乘除运算。
★难点是分子或分母为多项式的分式的乘除法。

例1计算：（1）3x2y• •(－ )；（2）6x3y2÷(－ )• ÷x2；
例2计算： ÷ •
★分式的分子、分母是多项式时，一般先按某一字母的降幂排列，再分解因式，并在运算过程中约分，使运算简化。
3．理解并掌握分式的乘方法则并能熟练地运用乘方法则进行运算。
★分式的乘方是把分子、分母各自乘方。用式子表示为：( )n= （其中n为正整数）。
补例：计算： ( )2÷( )3
4．理解掌握同分母分式的加减法法则，并能熟练地进行同分母分式的加减运算。
补例：计算：（1） ＋ － ；（2） － ；

★分数线的括号作用：在处理符号变化问题时，需考虑分子或分母的整体性。
★由于2x－3y与3y－2x是互为相反数，故可用分式的符号变化法将分母3y－2x化为2x－3y，转化为同分母分式的加减法。
5．理解掌握异分母分式加减法法则， 并能熟练地进行异分母分式的加减运算。
★异分母分式的加减法法则：异分母分式相加减，先通分，变为同分母分式，然后再加减。
用式子表示为： ± = 。
★关键在于正确确定最简公分母和灵活运用法则。
例：计算：（1） ＋ ＋ ； （2） －x－1；
6．理解掌握分式的四则混合运算的顺序并能熟练地进行分式的加、减、乘、除混合运算。
★分式的四则混合运算要注意运算顺序及括号的关系。

SS17.3可化为一元一次方程的分式方程（2课时）
可化为一元一次方程的分式方程及其应用是中考的必考内容，特别是运用分式方程的知识解决实际问题，更是近年中考的热点。
1．使学生理解分式方程的意义，会按一般步骤解可化为一元一次方程的分式方程.
★根据分式方程的概念进行判定，加深对分式方程概念的理解。
例：判断下列各式哪个是分式方程．
(1) ； (2) ； (3) ； (4) ； (5)
★解分式方程的关键在于将它转化为整式方程来解.
★解可化为一元一次方程的分式方程的一般步骤：
1）去分母，即在方程的两边都乘以最简公分母，将分式方程化为整式方程。
2）解这个整式方程。
3）验根：把解出的根代入最简公分母，去除增根。
★常见的错误：（1）去分母时漏乘整式项；（2）符号问题；（3）忘记验根
例 解方程： .
2．使学生理解增根的概念，了解增根产生的原因，知道解分式方程须验根并掌握验根的方法.
★对于原分式方程的解来说，必须要使方程中各分式的分母的值均不为零，但变形后得到的整式方程则没有这个要求.如果所得整式方程的某个根，使原分式方程中至少有一个分式的分母的值为零，也就是说使变形时所乘的整式（各分式的最简公分母）的值为零，它就不适合原方程，即是原分式方程的增根.
3．验根的方法
解分式方程进行检验的关键是看所求得的整式方程的根是否使原分式方程中的分式的分母为零.有时为了简便起见，也可将它代入所乘的整式（即最简公分母），看它的值是否为零.如果为零，即为增根.
如上例中的x=1，代入x2－1＝0，可知x=1是原分式方程的增根.
4． 通过分式方程的应用教学，培养学生数学应用意识。
★让学生学习审清题意设未知数，列分式方程，解完方程后还要根据实际情况剔除增根。
★列方程解应用题的一般步骤：
1）、审清题意；
2）、设未知数；
3）、找出等量关系，建立方程；
4）、解分式方程并检查方程的解是否符合题意；
5）、作答。

SS17.4 零指数幂与负整数指数幂（2课时）
1．使学生掌握零次幂的意义。
教学时引入问题： 在§21.1中介绍同底数幂的除法公式am÷an=am-n时，有一个附加条件：m＞n，即被除数的指数大于除数的指数.当被除数的指数不大于除数的指数，即m=n或m＜n时，情况怎样呢？
★任何不等于零的数的零次幂都等于1.
2．使学生掌握 （a≠0，n是正整数）并会运用它进行计算。
★任何不等于零的数的－n （n为正整数）次幂，等于这个数的n 次幂的倒数.
★底数不能为零，这是前提。
例1计算：
（1）810÷810； （2）10-2； （3）
例2计算： ⑴ ；
⑵
例3用小数表示下列各数：
（1）10-4； （2）2.1×10-5.
3．会利用10的负整数次幂，用科学记数法表示一些绝对值较小的数。
★复习引入 在§2.12中，我们曾用科学记数法表示一些绝对值较大的数，即利用10的正整数次幂，把一个绝对值大于10的数表示成 a×10n的形式，其中n是正整数，1≤∣a∣＜10.例如，864000可以写成8.64×105.
类似地，我们可以利用10的负整数次幂，用科学记数法表示一些绝对值较小的数，即将它们表示成a×10-n的形式，其中n是正整数，1≤∣a∣＜10.
探索： 10-1=0.1
10-2=
10-3=
10-4=
10-5=
归纳：10-n=
例如， 0.000021可以表示成2.1×10-5.
例4用科学记数法表示下列各数：
（1）0.80 (2)-0.06083

第18章 函数及其图象
函数是初中数学中最重要的内容之一，是描绘和研究现实世界各种数量关系的重要数学工具，同时也是一种重要的数学思想，学习好函数的知识，对我们今后的学习、研究和工作都起着非常重要的作用。本章书的主要内容是函数的基本知识（包括变量与函数、函数的图象等等），以及一次函数与反比例函数这两类基本函数的性质和简单应用。
本章书分为5节：
SS18.1 变量与函数（2课时）
1． 常量和变量
在某一个变化过程中，取值始终保持不变的量叫做常量，可以取不同的数值的量叫做变量。
★ 常量和变量是相对而言的，例如速度、时间和路程。
★ 学会在一个变化过程中判断出常量和变量。
2． 函数的概念
设在一个变化过程中有两个变量 、 ，对于 在取值范围内取的每一个值， 都有唯一确定的值与它对应，那么我们就说 是 的函数， 叫做自变量， 叫做因变量。
3． 自变量的取值范围
自变量的取值，○1要使所在的代数式有意义；○2要使实际问题有意义。
4． 函数值
对于一个函数，当自变量取一个值，例如： 时，我们可以求出与它相对应的 值，我们就说这个值是 时的函数值。
★ 对于一个函数，当自变量 取不同的值时，对应的函数值可能不相等，所以我们应该说明当自变量 取什么值时的函数值。
5． 函数的表示法
函数的表示方法，一般有三种：解析法、图象法和列表法。
SS18.2 函数的图象（2课时）
1． 平面直角坐标系
在平面上画两条原点重合、互相垂直且具有相同长度单位的数轴，就建立了平面直角坐标系，通常把其中水平的一条数轴叫做横轴（或 轴），取向右为正方向；铅直的一条数轴叫做纵轴（或 轴），取向上为正方向；两条数轴的交点O叫做原点。
建立了平面直角坐标系后，平面内的点就可以用一对有序实数对来表示了。
★ 掌握横坐标、纵坐标、点的坐标和象限等概念。
★ 熟记“平面直角坐标系”的各种规定。
★ 点的坐标的知识与 “对称”和象限的知识相结合解决相关问题。
2． 函数的图象
函数的图象是由直角坐标系中的一系列点组成，图象上每一点的坐标 代表了函数的一对对应值。
★ 由函数的图象我们可以直观地体现函数关系式，获取有用的函数信息，甚至我们还可以用函数图象来求方程的解、不等式的解集、方程组的解，预测变量的变化趋势。（提及）
★ 懂得使用描点法画出函数的图象，描点法画函数图象的步骤是：列表、描点和连线。列表时要注意自变量的取值范围。
3． 点在函数的图象上
SS18.3 一次函数（5课时）
1． 一次函数的定义
当函数的解析式是用自变量的一次整式来表示的，我们称之为一次函数。
一次函数可以表示为：
特别地，当 时， 叫做正比例函数。
★ 会判断一次函数，会根据一次函数的定义求某些字母的值。
★ 如果已知 与 成正比例，则可设成 ，然后通过条件求出 值即可求出函数的解析式；
一次函数亦然。
2． 一次函数的图象
首先通过描点法画出一次函数的图象，形成直观认识。
初步认识到一次函数的图象是一条直线，所以通常也称为直线
特别地，正比例函数 的图象是经过原点（0，0）的一条直线。
★ 一次函数的图象是一条直线，画一次函数的图象只需要确定两点后，过这两点画一条直线即可。
★ 掌握一次函数解析式 中，系数 、 与函数图象的联系。（平移、平行、过原点等）
3． 一次函数的性质
一次函数的性质表达了函数的变化规律以及函数图象的变化趋势，一次函数的性质是由系数 、 来决定的。
（1） 当 时，一次函数的图象从左到右趋势上升， 随 的增大而增大；
当 时，一次函数的图象从左到右趋势下降， 随 的增大而减少。
（2） 当 时，一次函数的图象经过 轴的正半轴；
当 时，一次函数的图象经过原点；
当 时，一次函数的图象经过 轴的负半轴。
（3） 由此还可以分析出函数的图象经过哪些象限。
4． 求一次函数的解析式
求一次函数 的解析式，需要确定 和 。
★课本目前要求掌握用待定系数法求函数的解析式。一般根据题目条件列出关于 和 的方程组，解出 和 即可使问题解决。
SS18.4 反比例函数（2课时）
1．反比例函数的定义
一般地，函数 叫做反比例函数，其中自变量 的取值范围是 的一切实数。
★ 反比例函数的图象既不经过原点，也不与两条坐标轴相交
★ 由 可得 ，也就是说，当两个变量的乘积是一个不为零的常数时，这两个变量就成反比例关系。例如：当长方形的面积一定时，长与宽就成反比例关系。
★ 会熟练判断两个变量是否成反比例关系。
2．反比例函数的图象及画法
反比例函数 的图象是双曲线，这两条曲线关于原点成中心对称。
（1）当 时，它的两个分支分别在第一、三象限，在每个象限内， 随 的增大而减少；
（2）当 时，它的两个分支分别在第二、四象限。在每个象限内， 随 的增大而增大。
★画反比例函数图象的方法是描点法，由于其图象关于原点对称，可以先画出一个分支，再通过对称点作出另一个分支即可。
★注意双曲线的两个分支中间是断开的。
3．反比例函数的性质
★注意双曲线的两个分支都无限接近坐标轴，但永远不与坐标轴相交。
4．用待定系数法求反比例函数的解析式
SS18.5 实践与探索（3课时）
本节书是目前的新教材与传统旧教材的重要区别之一，也是当前考试的热点。其目的在于让学生对所学的三种函数及其在生产和生活实践中的应用有一个比较全面的认识。原则上教材中一个问题安排一个课时，老师应该让学生充分思考，然后引导其解决问题，当然也可以根据学生实际情况掌握教学的要求和进度。
1．一次函数与二元一次方程（组）、一元一次不等式的关系。
2. 与图象、图表和文字信息有关的函数实际问题

反比例函数 分式 矩形