设X1,X2是取自正态总体X~N(0,σ^2)的一个样本,求P((X1+X2)^2⼀(X1-X2)^2<4)

P((X1+X2)^2/(X1-X2)^2<4)的解为F(1,1)。

解：本题利用了正态分布的性质求解。

因为N(0,σ^2)，

则有：E(X1+X2)=EX1+EX2=0

D(X1+X2)=DX1+DX2=2σ^2

X1+X2~N(0,2σ^2)

同理可得：X1-X2~N(0,2σ^2)

所以1/√2σ(X1+X2)~N(0,1)

1/√2σ(X1-X2)~N(0,1)

所以1/2σ^2(X1+X2)^2~X^2(1) X^2(n)代表自由度为n的卡方分布。

同理1/2σ^2(X1-X2)^2~X^2(1)

令A=1/2σ^2(X1+X2)^2 B=1/2σ^2(X1-X2)^2

所以(X1+X2)^2/(X1-X2)^2

=1/2σ^2(X1+X2)^2/1/2σ^2(X1-X2)^2

=A/B

=(A/1)/(B/1)

而这就是F(1,1)分布的定义

所以(X1+X2)^2/(X1-X2)^2等于F(1,1)。

扩展资料：

正态分布的性质：

1．集中性：正态曲线的高峰位于正中央，即均数所在的位置。

2．对称性：正态曲线以均数为中心，左右对称，曲线两端永远不与横轴相交。

3．均匀变动性：正态曲线由均数所在处开始，分别向左右两侧逐渐均匀下降。

4．正态分布有两个参数，即均数μ和标准差σ，可记作N（μ，σ）。

5．u变换：为了便于描述和应用，常将正态变量作数据转换。

参考资料来源：百度百科-正态分布

N(0，σ^2)

E(X1+X2)=EX1+EX2=0

D(X1+X2)=DX1+DX2=2σ^2

X1+X2~N(0，2σ^2)

同理：X1-X2~N(0，2σ^2)

所以1/√2σ(X1+X2)~N(0，1)

1/√2σ(X1-X2)~N(0，1)

所以1/2σ^2(X1+X2)^2~X^2(1) X^2(n)代表自由度为n的卡方分布

同理1/2σ^2(X1-X2)^2~X^2(1)

令A=1/2σ^2(X1+X2)^2 B=1/2σ^2(X1-X2)^2

所以(X1+X2)^2/(X1-X2)^2

=1/2σ^2(X1+X2)^2/1/2σ^2(X1-X2)^2

=A/B

=(A/1)/(B/1)

而这就是F(1，1)分布的定义

所以(X1+X2)^2/(X1-X2)^2~F(1，1)

扩展资料：

由于一般的正态总体其图像不一定关于y轴对称，对于任一正态总体，其取值小于x的概率。只要会用它求正态总体在某个特定区间的概率即可。

为了便于描述和应用，常将正态变量作数据转换。将一般正态分布转化成标准正态分布。

服从标准正态分布,通过查标准正态分布表就可以直接计算出原正态分布的概率值。故该变换被称为标准化变换。

标准正态分布表：标准正态分布表中列出了标准正态曲线下从-∞到X（当前值）范围内的面积比例。

关于μ对称，并在μ处取最大值，在正（负）无穷远处取值为0，在μ±σ处有拐点，形状呈现中间高两边低，正态分布的概率密度函数曲线呈钟形。

参考资料来源：百度百科——正态分布

接上面，上述服从F（1，1），所以有P(F（1，1）<4)=1-P(F（1，1）>=4），由F分布和t分布的性质知道，(tα/2（1）)^2=Fα(1,1),所以有P(F（1，1）>4)=1-2*P(tα/2（1)<=2)=0.7.本例主要考察F和t分布的相关性。

N(0,σ^2)
E(X1+X2)=EX1+EX2=0
D(X1+X2)=DX1+DX2=2σ^2
X1+X2~N(0,2σ^2)
同理：X1-X2~N(0,2σ^2)
所以1/√2σ(X1+X2)~N(0,1)
1/√2σ(X1-X2)~N(0,1)
所以1/2σ^2(X1+X2)^2~X^2(1) X^2(n)代表自由度为n的卡方分布
同理1/2σ^2(X1-X2)^2~X^2(1)
令A=1/2σ^2(X1+X2)^2 B=1/2σ^2(X1-X2)^2
所以(X1+X2)^2/(X1-X2)^2
=1/2σ^2(X1+X2)^2/1/2σ^2(X1-X2)^2
=A/B
=(A/1)/(B/1)
而这就是F(1,1)分布的定义
所以(X1+X2)^2/(X1-X2)^2~F(1,1)