（文）已知函数f（x）=mx-mx-2lnx（m∈R）（1）若f（x）在[1，+∞）上为单调函数，求m的取值范围；（2）

解答：（文）解：（1）f′(x)＝

mx2?2x+m

x2

，
∵y=f（x）在区间[1，+∞）上是单调函数，
∴关于x的不等式mx²-2x+m≥0在区间[1，+∞）上恒成立或关于x的不等式mx²-2x+m≤0在区间[1，+∞）上恒成立，
即关于x的不等式m≥

2x

1+x2

在区间[1，+∞）上恒成立或关于x的不等式m≤

2x

1+x2

在区间[1，+∞）上恒成立，
而

2x

1+x2

＝

2

x+ 1 x

，
∵x+

1

x

在x∈[1，+∞）时的取值范围是[2，+∞），
∴

2x

1+x2

＝

2

x+ 1 x

在x∈[1，+∞）时的取值范围是（0，1]，
∴m的取值范围是（-∞，0]∪[1，+∞）；
（2）构造函数F（x）=f（x）-g（x），即F(x)＝mx?

m

x

?2lnx?

2e

x

．
当m≤0时，∵x∈[1，e]，mx-

m

x

≤0，-2ln-

2e

x

＜0，
∴F（x）＜0，即在[1，e]上不存在一个x₀，使得f（x₀）＞g（x₀）成立．
当m＞0时，F′(x)＝

mx2?2x+m+2e

x2

，
∵x∈[1，e]，∴2e-2x≥0，mx²+m＞0，∴F'（x）＞0在x∈[1，e]时恒成立．
故F（x）F（x）在x∈[1，e]时单调递增，F(x)max＝F(e)＝me?

m

e

?4，
只要me?

m

e

?4＞0，解得m＞

4e

e2?1

．
故m的取值范围是(

4e

e2?1

，+∞)．