在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E．（1）如图1，连接EC，求证：△E

解答：（1）证明：如图1所示：
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，
∴∠ABC=60°，BC=

1

2

AB．
∵BD平分∠ABC，
∴∠1=∠DBA=∠A=30°．
∴DA=DB．
∵DE⊥AB于点E．
∴AE=BE=

1

2

AB．
∴BC=BE．
∴△EBC是等边三角形；

（2）结论：AD=DG+DM．
证明：
如图2所示：延长ED使得DN=DM，连接MN，
∵∠ACB=90°，∠A=30°，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，
∴∠ADE=∠BDE=60°，AD=BD，
又∵DM=DN，
∴△NDM是等边三角形，
∴MN=DM，
在△NGM和△DBM中，
∵

∠N＝∠MDB MN＝DM ∠NMG＝∠DMB

∴△NGM≌△DBM，
∴BD=NG=DG+DM，
∴AD=DG+DM．



（3）结论：AD=DG-DN．
证明：延长BD至H，使得DH=DN．
由（1）得DA=DB，∠A=30°．
∵DE⊥AB于点E．
∴∠2=∠3=60°．
∴∠4=∠5=60°．
∴△NDH是等边三角形．
∴NH=ND，∠H=∠6=60°．
∴∠H=∠2．
∵∠BNG=60°，
∴∠BNG+∠7=∠6+∠7．
即∠DNG=∠HNB．
在△DNG和△HNB中，

∠DNG＝∠HNB DN＝HN ∠H＝∠2

∴△DNG≌△HNB（ASA）．
∴DG=HB．
∵HB=HD+DB=ND+AD，
∴DG=ND+AD．
∴AD=DG-ND．