显然
∫(0到π) sint dt
= -cost （代入上下限π和0）
=2
而同样
∫(π到2π) |sint| dt
= cost （代入上下限2π和π）
=2
于是当nπ≤x<(n+1)π的时候，
∫(0到x) |sint| dt
=2n+ ∫(nπ到x) |sint| dt
而显然 0≤ ∫(nπ到x) |sint| dt <2
故2n ≤∫(0到x) |sint| dt <2n+2
因此
lim(x趋于+∞) ∫(0到x) |sint| dt / x的极限值
在 2n/x和 (2n+2)/x之间
而nπ≤x<(n+1)π
于是 2/(1+1/n)π <2n/x ≤ 2/π
2/π<(2n+2)/x ≤(2+2/n)/π
x趋于+∞，那么n也趋于+∞，1/n和2/n都趋于0
所以
2n/x和 (2n+2)/x之间就是 2/π
因此得到
lim(x趋于+∞) ∫(0到x) |sint| dt / x = 2/π
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