为什么用均值不等式求最大值时要常数分离

⑴：3x=1-x时x=1/4；
得x(3-3x)=9/16
⑵：先提取3，得3x(1-x)，x=1-x时，x=1/2；
得3x(1-x)=3/4≠9/16
从理论来说两种方法应该都对，为何会出现两种解？

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第一种方法是错的
使用均值不等式xy≤[(x+y)/2]²求最大值，需要满足“一正二定三相等”
一正：x,y都要是正数
二定：x+y是定值
三相等：x与y在取值范围内可以相等

但观察第一种方法，令3x=1-x，这是错误的，因为3x与(1-x)的和并不是定值，3x+(1-x)=1+2x，这就不符合使用均值不等式求最值的条件，因为求出的结果也不对。

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第二种方法是正确的
x(3-3x)，所以对式子提取3，是为了创造x与(1-x)的和是定值这个条件
变成3x(1-x)后，因为x+(1-x)=1=定值
所以3x(1-x)≤3[(x+1-x)/2]²=3/4
并且当x=1-x，x=1/2，这在x的范围内是可以取到的，所以不等式的等号也可以取到

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另外，如果使用不等式x+y≥2√(xy)求最小值，也要注意满足“一正二定三相等”，其中定值指的是x与y的乘积是个常数，这样才可使用，否则就会出现你问题中的错误情况。

做这种题目 ，方法很多
1。可以配方：x(3-3x)=-3（x^2-x)=-3(x-1/2)^2+3/4
所以当x=1/2时，有最大值3/4

2。就是楼主你的方法（2）。 两数之和一定，即x+y=b,数越集中，乘积越大.即x=y时候xy最大。
楼主可用配方法来证明这个结论。楼主高3的话，可用求导来证明（很简单）

3。求导法：设F(x)=x（1-x）对F(x)求导得出F'(x)=1-2x,另F'(x)>0，得出x<1/2 即F(x)在区间（-无穷，1/2）单调递增。另F'(x）〈0，得出F(x)在区间（1/2，+无穷）上单调递减
所以F(x)在x=1/2上有极大值，即最大值（0〈x<1)
求出最大值再乘3就行了（这方法麻烦了点，但通用）

4。分离常数法一般用于分数的。如楼上说的为了制造x和1/x这样的形式
(但要注意都要>0，注意定义域）

最值作为结果而言就是一个固定常数。而公式本身的目的是去掉未知数。所以常数在用公式的时候一般单独放一边不考虑，公式用完后再把常数还原回去。

均值不等式分离常数之后，就很容易确定的各数值的关系，很明显就知道最大值，你不要太专牛角尖，只要明白就好，这此是别人部结好，你套用就好，不必要就纠结这是为什么，这样会把你搞恼了，你当公式记住就好。考试的时候用就好了。

如果不分离，分子分母都会含有变量，无法确定整个式子的变化情况，而分理出常数，则一般只有分母含有变量，这样 自变量的变化范围确定，则整个式子的变化范围可求。