gronwall不等式的证明

有下面几种方法。
方法一，构造函数g（x）=exp（-∫v（x）dx）∫uvdx
则求导得exp（-∫vdx）·（-v）∫uv+exp（-∫vdx）·uv≤exp（-∫Vdx）·Ⅴ·A
也即g’（X）≤exp（-∫Vdx）·Ⅴ·A
两边积分得exp（-∫v（x）dx）∫uvdx≤A-Aexp（-∫Vdx）
移项即得证

方法二，迭代法，把原式代到u（X），得≤A+∫（A+∫uvdx）vdx，
经历n次迭代后，得A（1+∫vdx+∫（∫vdx）vdx+…
最后归纳得A∑（∫vdx）^n/n！，这是exp（vdx）的级数展开，得证

方法三，微分和积分法，这是原公式的提出者的证法，两边同时乘以v（x），移项得uv/A+∫uv≤v，两边积分，得In（A+∫uv）-InA≤∫v
换成exp形式得证

Ps，为了方便，我把原式中g.f函数换作u.v，手码不易，也不会发图片，请谅解
看不明白的欢迎追问～

我看了公式的证明，是有些复杂，但我觉得跟定理的难度还是相配的，再简单的估计也没了，实际上跟高数或数分上的难度也相差不大。

至于你说的f2（t）=后面那个2的阶乘怎么出来的
你可以再看一下，那两个东西如果 求导的话结果是一样的，我求过了
所以2的阶乘就是相互转化的产物，产生的一个常数系数。

我也只是大四，水平有限，你可以参考。

希望有帮到你。

你好,我刚毕业,自学的数学,咱们可以探讨探讨.
∫(a,t)g(s)ds 其实这里是这么理解的,他是关于t的函数
他让你产生的误解在于他的标码的问题.
你先看明白他设的递推公式(*),
在他求f2(t)的时候 后面等式里面的∫(a,t){∫(a,t)g(s)ds}g(s)ds
其实应该写成∫(a,t){∫(a,s)g(x)dx}g(s)ds
大括号{}里面的 ∫(a,s)g(x)dx 看成是关于s的函数,
因为这样才是(*)的形式.
接着,还原法,就可以得到那结果了. 以下的与此想通.