十字相乘法分解因式的公式

初 二 代 数

第八章 因式分析

[重点、难点点拨]

一、知识要点

1.因式分解——把一个多项式化为几个整式的积的 形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项
式分解因式。

2.因式分解的方法

(1)提取公因式——如果多项式的各项有公因式，可 把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形 式，这种分解因式的方法叫做提取公因式法。

提取公因式法是因式分解的最基本、最常用的方法，它的理论依据就是乘法的分配律，能找出多项式各项的公 因式是这种方法的关键，并要注意养成首先作提公因式分解的习惯。

(2)运用公式法——如果把乘法公式反过来，就可以用把某些多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做运用公式法。

(3)分组分解法——利用分组来分解因式的方法叫做分组分解法。

被分解的多项式中，如果项数超过三项，进行因式分解时所采用的方法常是分组分解，一般来说，分组分解法有两种类型：第一种是分组后各组有公因式，可以进一步提取公因式进行分解；第二种是分组后可以应用公司进行分解。

（4）十字相乘法——借助画十字交叉线分解系数，从而把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法。

十字相乘法是二次三项式分解因式的一种常用方法，它是先将二次三项式 的二次项系数a及常数项c都分解为两个因数的乘积（一般会有几种不同的分法）

然后按斜线交叉相乘、再相加，若有 ，则有 ，否则，需交换 的位置再试，若仍不行，再换另一组，用同样的方法试验，直到找到合适的为止。

3.因式分解的一般步骤

（1） 如果多项式的各项有公因式时，应先提取公因式；

（2） 如果多项式的各项没有公因式，则考虑是否能用公式法来分解；

（3） 对于二次三项式的因式分解，可考虑用十字相乘法分解；

（4） 对于多于三项的多项式，一般应考虑使用分组分解法进行。

在进行因式分解时，要结合题目的形式和特点来选择确定采用哪种方法。以上这四种方法是彼此有联系的，并不是一种类型的多项式就只能用一种方法来分解因式，要学会具体问题具体分析。

在我们做题时，可以参照下面的口诀：

首先提取公因式，然后考虑用公式；

十字相乘试一试，分组分得要合适；

四种方法反复试，最后须是连乘式。

二、学习要求

1、 正确理解因式分解的意义，会判断一个变形是不是因式分解，会判断分解所得的因式是否能再继续分解，从而得到因式分解的正确结果。要了解因式分解与整式乘法的区别和联系。

2、会正确判定多项式各项的公因式，会用提公因式的方法分解因式，并养成首先运用提公因式法分解因式的习惯。

3、熟记五个乘法公式，理解乘法公式逆向应用就是因式分解的公式。会运用换元的思想把某个代数式看做一个字母，会判断一个多项式是否符合各个公式的结构特点，并会把公式结构特点的多项式依照公式进行因式分解。

4、会运用十字相乘的方法，把某些二次三项式（或可以看做二次三项式的多项式）进行因式分解。

5、会运用先分组，再提公因式法或运用公因式法和十字相乘法进行因式分解。

※ 6、会综合运用各种方法，做较复杂的因式分解。

※ 7、会运用因式分解解决一些简单的数学问题。

[重点、难点例题分析]

例1 下列各式中，哪些是因式分解，哪些不是因式分解？

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

分析：由于因式分解的对象是多项式，而 是单项式，所以（1）不是；由于因式分解是把一个多项式化为几个整式的积的形式，而 恰恰相反,它是把m与x+y-z的积化为一个多项式，所以(2)不是；由于（3）的结果也不是整式的积的形式，而是将原多项式进行了部分的分解，所以(3)不是；（4）中等号右边的 还可以提公因式x，它还没有分解完，所以（4）不是；（5）采用的是提公因式法，但它提取的是 ，这不是整式，而我们要求提取的公因式应为整式，即单项式或多项式，所以（5）也不是；(6)、(7)、(8)均符合因式分解的定义，并且将等式右边的乘积算出来，其结果等于原式，所以（6）、（7）、（8）是因式分解。

注：（1）因式分解是在整式范围内进行的。另外，要注意在什么数的范围内进行因式分解，若题目没有说明，一般指在有理数范围内进行。

（2）因式分解不能只分解多项式的某些项，变形的结果必须是化成几个整式的积的形式。

（3）一定要把多项式的每个因式分解到不能再分为止。

（4）因式分解与整式乘法是一对互逆的运算，多项式的因式分解是把和差化为积的形式；而整式乘法是把积化为和差的形式，虽然都是恒等变形，但它们是互逆的两种过程。

例2 用提公因式分解下列因式。

（1）

（2）

（3）

（4）

（5）

解：（1）分析：当多项式的某一项和公因式相同时，注意不要漏掉1，即 。

（2）分析：这个多项式的第一项为负，而括号内多项式的首项应为正，所以公因式为-xy，注意括号内中的每一项都要变号。

（3） ]

注：把（x-y）当作一个因式，另一个因式要整理，去掉中括号，因式分解要求最后结果应是最简形式，能合并的一定要合并。

（4）分析：∵ ∴公因式为 。

∴

（5）分析：∵，∴公因式为（x-y）.

∴

由（4）、（5）可知：当公因式是多项式时，要注意符号问题，若需要改变括号内的字母顺序，应尽量改变偶次项括号内的字母顺序，若均为奇次项，则应保持首项系数为正。

当n为偶数时，

当n为奇数时，

注：①在确定各项的公因式时要注意，公因式的系数应取各项系数的最大公约数，字母取各项都含有的相同的字母，各字母的指数取次数最低的。

②提出公因式后，剩下的项组成的另一个因式的项数应和原多项式的项数相同。

例3 用公因式法分解下列因式。

注：(1)运用公式法进行因式分解的依据是乘法公式的逆变形。
（2）运用公式法进行因式分解的关键是要弄清各个公式的形式结构和特点，熟练地掌握公式。在做题时，可以先将多项式化为公式的基本形式，如：可化为（ ）2 -（ ）2 ，运用平方差公式；可化为 ，运用完全平方公式；可化为 ，运用立方和或立方差公式。

（3）在运用公式法做因式分解时，公式中的字母a、b可为任意数、单项式或多项式等。

解：（1）分析：这题显然不能直接使用公式，由于两项均为4次方。因此需要添一项凑出一个完全平方式，这里注意应凑成 ，以利于进一步的分解。

（2）分析：这题可以通过拆项的方法进行因式分解，由三项的系数特征可知应将 拆为 后再分组。

例11 已知多项式 有一个因式是 ,求k的值并把原式分解因式。

分析：由于 是一个三次多项式，而已知有一个一次多项式因子，可知另一个因子必是二次多项式，不妨设为 ，用待定系数法可确定a、b的值。

[重点、难点练习题]
一、 用提取公因式法分解下列各式

二、用公式法分解下列各式

三、用十字相乘法分解下列各式

四、用分组分解法分解下列因式

五、分解下列因式

六、分解下列因式

[全方位单元综合练习题]
一、 判断题（对的在括号里打"√",错的打"×"）

6、因式分解过程正好与整式乘法过程相反。 （ ）
7、任意一个二次多项式都可以分解为两个一次因式的乘积。（ ）
8、两个偶数的平方差一定是4的倍数。 （ ）
二、 选择题（每题只有一个正确答案，把正确答案的序号填在括号里）

四、将下列各式分解因式

五、将下列各式分解因式

十字相乘法概念:
十字相乘法能把某些二次三项式分解因式。这种方法的关键是把二次项a分解成两个因数a1,a2的积a1•a2，把常数项c分解成两个因数c1,c2的积c1•c2，并使a1c2+a2c1正好是一次项b，那么可以直接写成结果： ,在运用这种方法分解因式时，要注意观察，尝试，并体会它实质是二项式乘法的逆过程。当首项系数不是1时，往往需要多次试验，务必注意各项系数的符号。

例题

例1 把2x2－7x+3分解因式.
分析：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下解，再分解常数项，分
别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数.
分解二次项系数(只取正因数)：
2＝1×2＝2×1；
分解常数项：
3=1×3=1×3==(－3)×(－1)=(－1)×(－3).
用画十字交叉线方法表示下列四种情况：
1 1
�
2 3
1×3+2×1
=5
1 3
�
2 1
1×1+2×3
=7
1 －1
�
2 －3
1×(－3)+2×(－1)
=－5
1 －3
�
2 －1
1×(－1)+2×(－3)
=－7
经过观察，第四种情况是正确的，这是因为交叉相乘后，两项代数和恰等于一次项系数－7.
解 2x2－7x+3=(x－3)(2x－1).
一般地，对于二次三项式ax2+bx+c(a≠0)，如果二次项系数a可以分解成两个因数之积，即a=a1a2，常数项c可以分解成两个因数之积，即c=c1c2，把a1，a2，c1，c2，排列如下：
a1 c1
�
a2 c2
a1a2+a2c1
按斜线交叉相乘，再相加，得到a1a2+a2c1，若它正好等于二次三项式ax2+bx+c的一次项系数b，即a1c2+a2c1=b，那么二次三项式就可以分解为两个因式a1x+c1与a2x+c2之积，即
ax2+bx+c=(a1x+c1)(a2x+c2).
像这种借助画十字交叉线分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常
叫做十字相乘法.

例2 把6x2－7x－5分解因式.
分析：按照例1的方法，分解二次项系数6及常数项－5，把它们分别排列，可有8种不同的排列方法，其中的一种
2 1
�
3 －5
2×(－5)+3×1=－7
是正确的，因此原多项式可以用十字相乘法分解因式.
解 6x2－7x－5=(2x+1)(3x－5).
指出：通过例1和例2可以看到，运用十字相乘法把一个二次项系数不是1的二次三项式因式分解，往往要经过多次观察，才能确定是否可以用十字相乘法分解因式.
对于二次项系数是1的二次三项式，也可以用十字相乘法分解因式，这时只需考虑如何把常数项分解因数.例如把x2+2x－15分解因式，十字相乘法是
1 －3
�
1 5
1×5+1×(－3)=2
所以x2+2x-15=(x－3)(x+5).

例3 把5x2+6xy－8y2分解因式.
分析：这个多项式可以看作是关于x的二次三项式，把－8y2看作常数项，在分解二次项及常数项系数时，只需分解5与－8，用十字交叉线分解后，经过观察，选取合适的一组，即
1 2
�
5 －4
1×(－4)+5×2=6
解 5x2+6xy－8y2=(x+2y)(5x－4y).
指出：原式分解为两个关于x，y的一次式.

例4 把(x－y)(2x－2y－3)－2分解因式.
分析：这个多项式是两个因式之积与另一个因数之差的形式，只有先进行多项式的乘法运算，把变形后的多项式再因式分解.
问：两上乘积的因式是什么特点，用什么方法进行多项式的乘法运算最简便?
答：第二个因式中的前两项如果提出公因式2，就变为2(x－y)，它是第一个因式的二倍，然后把(x－y)看作一个整体进行乘法运算，可把原多项式变形为关于(x－y)的二次三项式，就可以用十字相乘法分解因式了.
解 (x－y)(2x－2y－3)－2
=(x－y)[2(x－y)－3]－2
=2(x－y) 2－3(x－y)－2
=[(x－y)－2][2(x－y)+1]
=(x－y－2)(2x－2y+1).
1 －2
�
2 +1
1×1+2×(－2)=－3
指出：把(x－y)看作一个整体进行因式分解，这又是运用了数学中的“整体”思想方法.

例3:x2+2x-15

分析：常数项(-15)<0，可分解成异号两数的积，可分解为(-1)(15)，或(1)(-15)或(3)

(-5)或(-3)(5)，其中只有(-3)(5)中-3和5的和为2。

=（x-3）（x+5)

①x^2＋（p q）x＋pq型的式子的因式分解

这类二次三项式的特点是：二次项的系数是1；常数项是两个数的积；一次项系数是常数项的两个因数的和.因此，可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分解： x^2＋（p q）x＋pq＝（x＋p）（x＋q）

②kx^2＋mx＋n型的式子的因式分解

如果能够分解成k＝ac，n＝bd，且有ad＋bc＝m 时，那么

kx^2＋mx＋n＝（ax b）（cx d）

a \-----/b ac＝k bd＝n

c /-----\d ad＋bc＝m

一、知识要点
1.因式分解——把一个多项式化为几个整式的积的
形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项
式分解因式。

2.因式分解的方法

(1)提取公因式——如果多项式的各项有公因式，可
把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形
式，这种分解因式的方法叫做提取公因式法。

提取公因式法是因式分解的最基本、最常用的方法，它的理论依据就是乘法的分配律，能找出多项式各项的公
因式是这种方法的关键，并要注意养成首先作提公因式分解的习惯。

(2)运用公式法——如果把乘法公式反过来，就可以用把某些多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做运用公式法。
(3)分组分解法——利用分组来分解因式的方法叫做分组分解法。
被分解的多项式中，如果项数超过三项，进行因式分解时所采用的方法常是分组分解，一般来说，分组分解法有两种类型：第一种是分组后各组有公因式，可以进一步提取公因式进行分解；第二种是分组后可以应用公司进行分解。
（4）十字相乘法——借助画十字交叉线分解系数，从而把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法。
十字相乘法是二次三项式分解因式的一种常用方法，它是先将二次三项式
的二次项系数a及常数项c都分解为两个因数的乘积（一般会有几种不同的分法）
然后按斜线交叉相乘、再相加，若有
，则有
，否则，需交换
的位置再试，若仍不行，再换另一组，用同样的方法试验，直到找到合适的为止。
3.因式分解的一般步骤
（1）
如果多项式的各项有公因式时，应先提取公因式；
（2）
如果多项式的各项没有公因式，则考虑是否能用公式法来分解；
（3）
对于二次三项式的因式分解，可考虑用十字相乘法分解；
（4）
对于多于三项的多项式，一般应考虑使用分组分解法进行。
在进行因式分解时，要结合题目的形式和特点来选择确定采用哪种方法。以上这四种方法是彼此有联系的，并不是一种类型的多项式就只能用一种方法来分解因式，要学会具体问题具体分析。
在我们做题时，可以参照下面的口诀：
首先提取公因式，然后考虑用公式；
十字相乘试一试，分组分得要合适；
四种方法反复试，最后须是连乘式。
二、学习要求
1、
正确理解因式分解的意义，会判断一个变形是不是因式分解，会判断分解所得的因式是否能再继续分解，从而得到因式分解的正确结果。要了解因式分解与整式乘法的区别和联系。
2、会正确判定多项式各项的公因式，会用提公因式的方法分解因式，并养成首先运用提公因式法分解因式的习惯。
3、熟记五个乘法公式，理解乘法公式逆向应用就是因式分解的公式。会运用换元的思想把某个代数式看做一个字母，会判断一个多项式是否符合各个公式的结构特点，并会把公式结构特点的多项式依照公式进行因式分解。
4、会运用十字相乘的方法，把某些二次三项式（或可以看做二次三项式的多项式）进行因式分解。
5、会运用先分组，再提公因式法或运用公因式法和十字相乘法进行因式分解。
※
6、会综合运用各种方法，做较复杂的因式分解。
※
7、会运用因式分解解决一些简单的数学问题。

把二次三项式化为两个一次二项式相乘。方法：将二次项系数拆分成两个因子写在一列，将零次项拆开为两个因子写在第二列，使得两列数交叉相乘之和等于原始式一次项系数，则该组十字拆分成功，则原始式可以写成以拆分的十字数两行的数字为系数的两个因子相乘

x^2+bx+c=(x+x1)(x+x2)
十字相乘法，其实就是它的两个根。
需要熟练后，就可以直接看出答案了。