求值域有哪些常见的方法

利用不等式的性质来求出函数的值域，和下面的判别式法都是求函数值域的基本方法求函数值域的方法
函数的值域是由函数的定义域与对应关系确定的，因此，要求函数的值域，一般应先分析其定义域，不能简单地从函数关系来观察．
求函数的值域的方法很多，技巧性也很强，这里介绍几种最常见的基本方法．
（1）观察法
一些简单的函数，常可以通过对函数的解析式进行变形，然后对其定义域和对应关系进行分析，即可获得其值域（见例1）．
（2）图象法
如果某些函数从解析式不易求出它的值域，而函数的图象又较易画出来，一般可以利用函数图象而直接求出其值域（见例2，例4）．
（3）如果一个有理函数式y＝f（x），通过适当变形可以化为关于x的一元二次方程．这时，由于该函数的定义域不是空集，即存在实数x是上述所得的关于x的一元二次方程的解．从而该方程的根的判别式Δ≥0．由此，求得y的取值范围，即函数的值域（见例3）．
此外，求函数值域的方法还有配方法、换元法、反函数法、不等式法，以及运用函数的单调性，有界性等．

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一般求函数的值域常有如下方法：

（1）利用函数性质求解析式
也就是根据题目条件的定义域和值域的范围，确定解析式的形式，这种方法常用于解决分段函数的问题。

（2）配方法、换元法
对于形如 y = ax + b + √(cx + d) 的函数，可以用换元法；
对于含√(a^2 - x^2)结构的函数，可利用三角代换，转化为三角函数求值域。

（3）反函数法、判别式法
对于形如 y = (cx + d)/(ax + b) 的函数值域可用反函数法，也可用配凑法；
对于形如 y = (ax^2 + bx + c)/(dx^2 + ex + f) 的函数值域常用判别式法，把函数转化成关于 x 的二次方程 F(x,y) = 0 ，通过方程有实根，判别式 △≥ 0 ,从而得到原函数的值域。但注意要讨论二次项系数为零和非零的两种情况。

（4）不等式法、单调性法
利用基本不等式 a + b ≥ 2√ab 求值域，注意“一正、二定、三取等”。即：a>0,b>0；a+b(或ab)为定值；取等号的条件。
对于形如 y = ax + b + √(cx + d) 的函数，看 a 与 d 是否同号，若同号用单调性求值域，若异号则用换元法求值域。

（5）数形结合法
这个就不用我多说了吧，把已知问题转化为图像求最值或者范围的问题，灵活利用平面或空间几何学的性质，帮助求解。

（6）导数法
这个是最保险的，但是往往运算起来会比较麻烦。

（7）抽象函数问题
根据题目所给条件对问题进行转化，化繁为简。