证明3|n(n+1)(2n+1),其中n是任何整数。

n为3的倍数时，n(n+1)(2n+1)能被3整除。

n不是3的倍数时，n=3k+1或n=3k+2(k为自然数，包括0）。

n=3k+2时，n+1=3k+2+1=3(k+1),是3的倍数，n(n+1)(2n+1)能被3整除。

n=3k+1时，2n+1=2(3k+1)+1=6k+3=3(2k+1)，是3的倍数，n(n+1)(2n+1)能被3整除。

综上，n(n+1)(2n+1)能被3整除。

除法的法则：

除法的运算性质

1、被除数扩大（缩小）n倍，除数不变，商也相应的扩大（缩小）n倍。

2、除数扩大（缩小）n倍，被除数不变，商相应的缩小（扩大）n倍。

3、被除数连续除以两个除数，等于除以这两个除数之积。

除法相关公式：

1、被除数÷除数=商

2、被除数÷商=除数

3、除数×商=被除数

4、除数=(被除数-余数)÷商

5、商=(被除数-余数)÷除数

首先如果n是3的倍数,或者n+1是3的倍数,题目显然成立.

那么如果n,n+1都不是3的倍数,那么n+2一定是三的倍数,因为任何整数被3除,只能有3种余数的情况,0,1,2

那么假设n+2=3k,k为整数,n=3k-2

那么2n+1=2(3k-2)+1=6k-4+1=6k-3=3(2k-1)显然是3的倍数

得证