51问答网 > 已知函数f（x）=13x3+ax2-bx（a，b∈R），若y=f（x）图象上的点（1，-113）处的切线斜率为-4，（1）求f（

已知函数f（x）=13x3+ax2-bx（a，b∈R），若y=f（x）图象上的点（1，-113）处的切线斜率为-4，（1）求f（

2025-02-24 17:18:34

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回答1：

（1）∵f（x）=

1

3

x³+ax²-bx，
∴f′（x）=x²+2ax-b，
∵y=f（x）图象上的点（1，-

11

3

）处的切线斜率为-4，
∴f′（1）=-4，f（1）=-

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3

，
∴1+2a-b=-4．①，

1

3

+a-b=?

11

3

，即a-b+4=0．②
由①②解得a=-1，b=3，
∴f（x）=

1

3

x³-x²-3x．
（2）∵f（x）=

1

3

x³-x²-3x．
∴f′（x）=x²-2x-3=（x-3）（x+1）．
令f′（x）=0，解得x=-1或3．
∴在x∈[-3，6]上，当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：

x -3 （-3，-1） -1 （-1，3） 3 （3，6） 6

f′（x） + 0 - 0 +

f（x） -9 单调递增↗ 极大值

5

3

单调递减↘ 极小值-9 单调递增↗ 18

∴当x∈[-3，6]时，f（x）_max=f（6）=18，
f（x）_min=f（3）=f（-3）=-9．