解：（1）分两种情况：
①当点P在线段OA上运动时，如图1，
y=
x×2，1 2
即y=x，0＜x≤2；
②当点P在线段AB上运动时（不含点A），如图2，
y=
（4-x）×2，1 2
即y=-x+4，2＜x＜4；
（2）由题意可知：
①
=x，1 4
此时，点P（
，0），1 4
②
=-x+4，1 4
x=
，15 4
x-2=
．7 4
此时，点P（2，
），7 4
综合（2）中的①，②可得P（
，0）或P（2，1 4
）；7 4
（3）如图3，存在满足条件的直线．
设这条直线的解析式为y=kx-1，
由于直线平分正方形OABC的面积，可得：OM=BN，延长AB，交直线与点H，
∵△POM≌△HBN，
∴BH=OP=1，
∴H（2，3），
由点H在直线上，得3=2k-1，
∴k=2，
∴所求直线的解析式为y=2x-1，
另法：由直线平分正方形AOCB的面积，
可知，直线过正方形AOCB的中心．
∴直线过（1，1）点，
∴直线的解析式为y=2x-1．
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