~~~~~高分求三角恒等式~

2024-12-27 18:39:25

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回答1：

三角函数
sinx
cosx
tanx
cotx
secx
cscx
含有与三角形三个内角有关的三角函数的恒等式，叫做三角恒等式

常见的三角恒等式及其证明
设A，B，C是三角形的三个内角
(1)
tanA＋tanB＋tanC=tanAtanBtanC
证明：
tanA+tanB+tanC=tan(A+B)(1-tanAtanB)+tanC=tan(π-c)(1-tanAtanB)+tanC=-tanC(1-tanAtanB)+tanC=tanAtanBtanC

(2)
cotAcotB＋cotBcotC+cotCcotA=1
证明：
tanA＋tanB＋tanC=tanAtanBtanC
cotX*tanX=1
tanA*cotAcotBcotC＋tanB*cotAcotBcotC＋tanC*cotAcotBcotC=tanAtanBtanC*cotAcotBcotC
cotAcotB＋cotBcotC+cotCcotA=1

(3)
(cosA)^2+(cosB)^2+(cosC)^2+2cosAcosBcosC=1
证明：
(cosA)^2+(cosB)^2+x^2+2cosAcosBx=1
x^2+2cosAcosBx+(cosA)^2+(cosB)^2-1=0
x={-2cosAcosB+-√[(2cosAcosB)^2-4((cosA)^2+(cosB)^2-1)]}/2
x=-cosAcosB+-√[(cosAcosB)^2-((cosA)^2+(cosB)^2-1)]
x=-cosAcosB+-√[1-(cosA)^2][1-(cosB)^2]
x=-cosAcosB+-√[(sinA)^2(sinB)^2]
x=-cosAcosB+-sinAsinB
x=-cos(A+B)或x=-cos(A-B)
x=cosC或x=-cos(A-B)
所以
cosC是方程的一个根
所以
(cosA)^2+(cosB)^2+(cosC)^2+2cosAcosBcosC=1

(4)
cosA+cosB+cosC＝1＋4sin(A/2)sin(B/2)sin(C/2)
证明：
cosA+cosB+cosC=1+4sin(A/2)sin(B/2)sin(C/2)
cos(180-B-C)+cosB+cosC=1+2sin(A/2)[2sin(B/2)sin(C/2)]
cos(180-B-C)+cosB+cosC=1+2cos(B/2+C/2)[2sin(B/2)sin(C/2)]
-cos(B+C)+cosB+cosC=1+2cos(B/2+C/2)[2sin(B/2)sin(C/2)]
-cos(B+C)+cosB+cosC=1+2cos(B/2+C/2)[cos(B/2-C/2)-cos(B/2+C/2)]
-cos(B+C)+cosB+cosC=1+2cos(B/2+C/2)cos(B/2-C/2)-2[cos(B/2+C/2)]^2

cosB+cosC=2cos(B/2+C/2)cos(B/2-C/2)
2[cos(B/2+C/2)]^2-1=cos(B+C)

(5)
tan(A/2)tan(B/2)+tan(B/2)tan(C/2)+tan(C/2)tan(A/2)=1
证明：
A/2+B/2+C/2=π/2
(π/2-A)+(π/2-B)+(π/2-C)=π
cot(π/2-A)cot(π/2-B)+cot(π/2-C)cot(π/2-B)+cot(π/2-A)cot(π/2-C)=1
tan(A/2)tan(B/2)+tan(B/2)tan(C/2)+tan(C/2)tan(A/2)=1

(6)
sin2A+sin2B+sin2C=4sinAsinBsinC
证明：
设三角形ABC的外心为O
S△ABO+S△ACO+S△CBO=S△ABC
(1/2)RRsin2C+(1/2)RRsin2B+(1/2)RRsin2A=(1/2)bcsinA=(1/2)2RsinB*2RsinC*sinA
sin2A+sin2B+sin2C=4sinAsinBsinC

(7)
sinA+sinB+sinC=4cos(A/2)cos(B/2)cos(C/2)
证明：
4cos(A/2)cos(B/2)cos(C/2)
=[2cos(C/2)]*[2cos(A/2)cos(B/2)]
=[2sin(A/2+B/2)]*[cos(A/2+B/2)+cos(A/2-B/2)]
=2sin(A/2+B/2)cos(A/2+B/2)+2sin(A/2+B/2)cos(A/2-B/2)
=sin(A+B)+2sin(A/2+B/2)cos(A/2-B/2)
=sinC+2sin[(A+B)/2]cos[(A-B)/2]
=sinC+sin[(A+B)/2+(A-B)/2]+sin[(A+B)/2-(A-B)/2]
=sinC+sinA+sinB

回答2：

1.sinA+sinB+sinC=4cos(A/2)cos(B/2)cos(C/2) 和差化积
2.cosA+cosB+cosC=1+4sin(A/2)sin(B/2)sin(C/2) 和差化积
3.tanAtanBtanC=tanA+tanB+tanC
4.cot(A/2)cot(B/2)cot(C/2)=cot(A/2)+cot(B/2)+cot(C/2) 应用3题结论
5.sin^2A+sin^2B+sin^2C+=2+2cosAcosBcosC 降幂升角，和差化积
6.sin^2(A/2)sin^2(B/2)sin^2(C/2)=1-2sinA/2sinB/2sinC/2.
7.sin(a)= (2tan(a/2))/(1+tan^2(a/2)) 万能公式
8.cos(a)= (1-tan^2(a/2))/(1+tan^2(a/2)) 万能公式
9.tan(a)= (2tan(a/2))/(1-tan^2(a/2)) 万能公式
10.sin2A+sin2B+sin2C=4sinAsinBsinC
11.tan3A=tan(A+60度)tan(A)tan(A-60度)硬算吧，我没什么技巧
12.tan[1/（2n+1）*180度]tan[2/（2n+1）*180度]tan[3/（2n+1）*180度]...tan[n/（2n+1）*180度]=根号下(2n+1),n为自然数
证明就不写了，太麻烦。后面是证明要点，依此思路可证明该式。12很难，运用方程思想，涉及虚数，二项式定理，不知道也罢。