什么是黄金矩行

黄金矩形

黄金矩形是一种非常美丽和令人兴奋的数学对象，其拓展远远超出了数学的范围，可见于艺术、建筑、自然界，甚至于广告．它的普及性并非偶然，心理学测试表明，在矩形中黄金矩形最为令人赏心悦目．

公元前5世纪的古希腊建筑师已经晓得这种协调性的影响．巴特农神殿就是应用黄金矩形的一个早期建筑的例子．那时的古希腊人已经具有黄金均值及如何作它的知识，还知道如何近似于它以及如何用它来构造

名字的头三个字母相同想来并非只是巧合．相信菲狄亚斯在他的作品中用了黄金均值和黄金矩形．既然毕达哥拉斯所处的那个社会

说与菲狄亚斯没有一点关系．

除了影响建筑之外，黄金矩形还出现在艺术中．在公元1509年L·帕西欧里的《神奇的比例》一书中，达·芬奇为人体结构中的黄金均值作了图解．黄金均值用在艺术上是以生动的对称技巧为标志．A·丢勒、G·西雷特、P·曼诸利安、达·芬奇、S·达利、G·贝娄等人，都在他们的一些作品中用黄金矩形去创造富有生气的对称．

从几何意义上讲，在给定线段AC上黄金均值可以这样构成，在AC上取一点B，使得

则|AB|为黄金均值，也以黄金分割、黄金比以及黄金比例等著称．

一条线段一旦分割出黄金均值，那么黄金矩形也就很容易通过以下步骤作出：

1)给定任一线段AC，用B点将线段AC分割出一个黄金均值段，作正方形ABED．

2)作CF⊥AC．

3)延长射线DE，使得线DE与CF交于F点．

则ADFC是一个黄金矩形．

黄金矩形也可以不用已有的黄金均值段作出，如下图所示：

1)作任意正方形ABCD．

2)用线段MN将正方形平分为两半．

3)用圆规，以N为中心，以|CN|为半径作弧．

4)延长射线AB直至与以上的弧相交于E点．

5)延长射线DC．

6)作线段EF⊥AE，并令射线DC与EF交于F点．

则ADFE为一黄金矩形．

黄金矩形还能自我产生：从下面的黄金矩形ABCD出发，很容易通过画正方形ABEF的方法得到黄金矩形ECDF．再通过画正方形ECGH，容易构成黄金矩形DGHF．这样的过程可以无限地继续下去．

用最后得到的无穷多个紧挨着的黄金矩形，可以作出另一种类型的等角螺线(也称对数螺线)．如下图用圆规在一系列黄金矩形中的各个正方形里，画四分之一圆弧．这些弧便形成等角螺线的轮廓．

注释

由黄金矩形陆续产生其他的黄金矩形，这样便画出了等角螺线的轮廓．图中的对角线交点为该螺线的极点或中心．

令O为螺线的中心．

螺线的极半径是指以中心O和螺线上任意点为端点的线段．

注意螺线上的每一个点的切线与该点的极半径都形成一个角∠T1P1O．如果对于每一个这样的角都相等，则该螺线为等角螺线．

等角螺线也称对数螺线，因为它以几何比率(也就是某数的方幂)增长，而方幂的指数则是对数的另一种名称．

等角螺线是仅有的这样一种类型的螺线，这种螺线当它增大时不改变自己的形状．

在实际生活中有许多装点的形式——正方形、六角形、圆、三角形等等．黄金矩形和等角螺线是其中最令人心旷神怡的两种．两者的形迹可见于海星、贝壳、菊石、鹦鹉螺、序状种子的排列、松果、菠萝、甚至于一个蛋的形状．

同样令人感兴趣的是黄金比与斐波那契数列的联系．斐波那契数列——(1，1，2，3，5，8，13，…，[Fn-1+Fn-2]，…)——相继项

除了出现在艺术、建筑和自然界外，今天黄金矩形还在广告和商业等方面派上用场．许多包装采用黄金矩形的形状，能够更加迎合公众的审美观点．例如标准的信用卡就近似于一个黄金矩形．

黄金矩形还跟许多其他的数学观念相联系．诸如无穷数列、代数、圆内接正十边形、柏拉图体、等角螺线、极限、黄金三角形和五角星形等等．

就是矩形的宽和长之比例为黄金比例(根号5-1)/2约为0.618