解答：（1）当a=0，b=3时，f（x）=x3-3x2，f'（x）=3x2-6x，令f'（x）=0得x=0，2，根据导数的符号可以得出函数f（x）在x=0处取得极大值，在x=2处取得极小值．函数f（x）在（t，t+3）上既能取到极大值，又能取到极小值，则只要t＜0且t+3＞2即可，即只要-1＜t＜0即可．所以t的取值范围是（-1，0）．（4分）
（2）当a=0时，+lnx+1≥0对任意的x∈[，+∞)恒成立，即x2-bx+lnx+1≥0对任意的x∈[，+∞)恒成立，也即b≤x++在对任意的x∈[，+∞)恒成立．令g(x)＝x++，
则g′(x)＝1+?＝．
记m（x）=x2-lnx，则m′(x)＝2x?＝，则这个函数在其定义域内有唯一的极小值点x＝，故也是最小值点，所以m(x)≥m()＝?ln＞0，从而g'（x）＞0，所以函数g（x）在[，+∞)单调递增．函数g(x)min＝g()＝+2ln2．故只要b≤+2ln2即可．所以b的取值范围是(?∞，+2ln2]．（8分）
（3）假设⊥，即?＝0，即（s，f（s））?（t，f（t））=st+f（s）f（t）=0，故（s-a）（s-b）（t-a）（t-b）=-1，即[st-（s+t）a+a2][st-（s+t）b+b2]=-1．
由于s，t是方程f'（x）=0的两个根，故s+t＝(a+b)，st＝，0＜a＜b．
代入上式得ab（a-b）2=9.(a+b)2＝(a?b)2+4ab＝+4ab≥2＝12，即a+b≥2，与a+b＜2矛盾，所以直线OA与直线OB不可能垂直．
