已知函数f（x）=lnx-ax+ 1-a x -1（a∈R），当a≤ 1 2 时，讨论f（x）的单调性

2025-01-07 17:46:30

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回答1：

f′(x)=

-a-

1-a

x 2

a x 2 -x+1-a

x 2

[ax+(a-1)](x-1)

x 2

（x＞0），
令g（x）=ax² -x+1-a，
①当a=0时，g（x）=-x+1，当x∈（0，1）时，g（x）＞0，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减；
当x∈（1，+∞）时，g（x）＜0，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增；
②当0＜a＜

时，由f′（x）=0，x₁ =1，x₂ =

-1．此时

-1＞1＞0，
列表如下：

由表格可知：函数f（x）在区间（0，1）和 (

-1，+∞) 上单调递减，在区间 (1，

-1) 上单调递增；
③当a=

时，x₁ =x₂ ，此时f′（x）＜0，函数f（x）在（0，+∞）单调递减；
④当a＜0时，由于

-1＜0，则函数f（x）在（0，1）上单调递减；在（1，+∞）上单调递增．
综上：当a≤0时，函数f（x）在（0，1）上单调递减；在（1，+∞）上单调递增．
当a=

时，函数f（x）在（0，+∞）上单调递减．
当 0＜a＜

时，函数f（x）在区间（0，1）和 (

-1，+∞) 上单调递减，在区间 (1，

-1) 上单调递增．