高等数学求转动惯量。

ds=（x2-x1）dy

dm=ρds=ρ（x2-x1）dy

dJ=y^2dm=ρ（x2-x1）y^2dy=2ρ√[1-(y/2)^2]y^2dy

令y/2=sinθ

则有：

dJ=8ρ∫cosθsinθ^2d（2sinθ）

=-16ρ∫cosθ^2sinθ^2dθ

=-16ρ∫(sin2θ/2)^2d（θ）

=2ρ∫(1-cos4θ)dθ

求积分区间，当x=0时，y=+/-2，则由：sinθ=+/-1，θ=+/-π/2

J=ρ(2π-0)/2 -ρ(-2π-0)/2 =2πρ

质量转动惯量

其量值取决于物体的形状、质量分布及转轴的位置。刚体的转动惯量有着重要的物理意义，在科学实验、工程技术、航天、电力、机械、仪表等工业领域也是一个重要参量。电磁系仪表的指示系统，因线圈的转动惯量不同，可分别用于测量微小电流（检流计）或电量（冲击电流计）。在发动机叶片、飞轮、陀螺以及人造卫星的外形设计上，精确地测定转动惯量，都是十分必要的。

以上内容参考：百度百科-转动惯量

思路：最基本的物理公式：转动惯量I
I=∫ r²dm
然后再看题目的具体要求,看看是重积分,曲线积分还是曲面积分
先说下dm：
①重积分：二重积分dm=ρdσ,三重积分dm=ρdV；
②曲线积分：dm=ρds；
③曲面积分：dm=ρdS；
ρ：题目如果没具体说明或是均匀或只给个常数\代数,那么ρ就是个常数；如果给了ρ的方程,代入就好了.
r：表示与.的距离,比如说,在三维空间：
与x轴距离：那么公式中r²=y²+z²
与原点距离：那么公式中r²=x²+y²+z²
与平面yOz距离：那么公式中r²=x²
在二维平面：
与x轴距离：那么公式中r²=y²
与原点距离：那么公式中r²=x²+y²
等等

ds=（x2-x1）dy
dm=ρds=ρ（x2-x1）dy
dJ=y^2dm=ρ（x2-x1）y^2dy=2ρ√[1-(y/2)^2]y^2dy
令y/2=sinθ
则有：
dJ=8ρ∫cosθsinθ^2d（2sinθ）
=-16ρ∫cosθ^2sinθ^2dθ
=-16ρ∫(sin2θ/2)^2d（θ）
=2ρ∫(1-cos4θ)dθ

求积分区间，当x=0时，y=+/-2，则由：sinθ=+/-1，θ=+/-π/2

J=ρ(2π-0)/2 -ρ(-2π-0)/2 =2πρ