怎样求二元一次方程不定方程的通解?

解法

消元法

“消元”是解二元一次方程的基本思路。所谓“消元”就是减少未知数的个数，使多元方程最终转化为一元多次方程再解出未知数。这种将方程组中的未知数个数由多化少，逐一解决的解法，叫做消元解法。

消元方法一般分为：

代入消元法,简称：代入法(常用）

加减消元法,简称：加减法（常用）

顺序消元法,（这种方法不常用）

以下是消元方法的举例：

例1.代入消元法

代入消元法就是先利用其中一个方程，将含有其中一个未知数的代数式表示另一个未知数。然后代入另一个方程，从而将这组方程转化成解两个一元一次方程式的方法。

{x=2+3

{x+y=21

把 x=2+3

代入 x+y=21

即 2+3+y=21

从而求出 x=5，y=16

例2.加减消元法

加减消元法就是将两个方程相加或相减，从而消去其中一个未知数的方法。

通常，我们先将其中一个方程的两边同时乘以一个不是0的数，使其中的一个系数与另外一个方程的对应系数相同。再将两个方程相加或相减。

x+y=13

2y-x=2

把两式相加消去 x

即 y+2y=13+2

从而求出y=5，x=8

例3.

{x-y=3 ①

{3x+8y=4②

由①得x=y+3③

3x-8y=4②

③代入②得

3（y+3)-8y=4

y=1

所以x=4

则：这个二元一次方程组的解为

{x=4

{y=1

例4.

{13x+14y=41

{14x+13y=40

27x+27y=81

y-x=1

27y=54

y=2

x=1

y=2

把y=2代入(3)得

即x=1

所以:x=1,y=2

最后 x=1 ， y=2， 解出来

特点:两方程相加减,单个x或单个y,这样就适用接下来的代入消元.

换元法

是二元一次方程的另一种方法，就是说把一个方程用其他未知数表示，再带入另一个方程中。

例5.

x+y=590

y+20=90%x

代入后就是：

x+90%x-20=590

例6.

(x+5)+(y-4)=8

(x+5)-(y-4)=4

令x+5=m,y-4=n

原方程可写为

m+n=8

m-n=4

解得m=6,n=2

所以x+5=6,y-4=2

所以x=1,y=6

特点：两方程中都含有相同的代数式，如题中的x+5,y-4之类，换元后可简化方程也是主要原因。

代元法

例7.

x:y=1:4

5x+6y=29

令x=t,y=4t

方程2可写为：5t+24t=29

29t=29

t=1

所以x=1,y=4

此外，还有代入法可做题。

例8.

x+y=5

3x+7y=-1

解：x=5-y

3（5-y）+7y=-1

15-3y+7y=-1

4y=-16

y=-4

得：{x=9}

{y=-4}

公式法

例9.

ax+by=c

a2x+b2y=c2

则x=(b2*C-b*C2)/(b2*a-b*a2) ，y=(a2*C-a*C2)/(a2*b-a*b2)

例10.提取公式过程

aX+bY=c，式⑴，

a2X+b2Y=c2，式⑵

将式⑵变形，得Y=(c2-a2X)/b2，式⑶

将式⑶代入式⑴，得aX+b((c2-a2X)/b2)=c

aX+(b*c2-b*a2X)/b2=c

乘b2，得a*b2X+b*c2-b*a2X=c*b2

(a*b2-b*a2)X=c*b2-b*c2

X=(c*b2-b*c2)/(a*b2-b*a2)

Y的解法依此类推，得Y=(a*c2-c*a2)/(a*b2-b*a2)

二元的如果没有特殊条件，必须要两个方程式才能解出。

1）求出特解（用《辗转取整法》）；2）直接写出通解：未知数x=x特解【加】（方程中y的系数）乘（整参数）、未知数y=y特解【减】（方程中x的系数）乘以（整参数）

比如：方程为 Ax+By=C ，一组特解为 ： x=x0、y=y0
则不定方程的通解为 ：x=x0+Bt、y=y0-At

能否举例帮你？