根据我之前的理解，你递交那天虽然签证还没有出来，但他在国内的身份还是合法的，如果签证出不了，那他才是开始非法居留，有几天可以让他出去的。
递交时他就算合法了，你可以可以加快（可能会要些费用吧），最好你问一下出入境的人落实一下，是不是递交后就算OK了，即使是在有效身份的最后一天。
提醒一下，他要有你们长沙的暂住证才能办理延期。如果他还没有，那赶快去办理，到派出所去登记。
如果是变更工作签证，是不需要出境的，也不需要办理工作许可，直接办理新的就业证就行了。所以我不明白你说的到底是个什么情况。
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