用极限的定义证明lim0.99999999...=1

lim(n→inf.)0.99…9 (小数点后n位) = 1。

证明如下：对任给的 ε>0 (ε<1)，为使

|0.999…9 (小数点后 n 位) - 1| = 0.000…01(小数点后 n 位) = (1/10)^n < ε，

只需 n > -lnε/ln10，于是，取N = [-lnε/ln10]+1，则当 n>N 时，有

|0.999…9 (小数点后n位) - 1| = (1/10)^n < (1/10)^N <= (1/10)^(-lnε/ln10) = ε，

根据极限的定义，极限成立。

扩展资料：

极限思想方法，是数学分析乃至全部高等数学必不可少的一种重要方法，也是‘数学分析’与在‘初等数学’的基础上有承前启后连贯性的、进一步的思维的发展。

数学分析之所以能解决许多初等数学无法解决的问题（例如求瞬时速度、曲线弧长、曲边形面积、曲面体的体积等问题），正是由于其采用了‘极限’的‘无限逼近’的思想方法，才能够得到无比精确的计算答案。

人们通过考察某些函数的一连串数不清的越来越精密的近似值的趋向，趋势，可以科学地把那个量的极准确值确定下来，这需要运用极限的概念和以上的极限思想方法。要相信， 用极限的思想方法是有科学性的，因为可以通过极限的函数计算方法得到极为准确的结论。

我来个简单的。
∵1/9=0.1111111……
∴0.99999999...=9×(1/9)=1
这根本就不用取极限，本身就等于1.

你写错了，可以写0.99999...=1，或者lim(n→∞)9∑(k=1→n)0.1^k=1，但是那个lim0.999...=1就不太规范了
下面证明第二个等式
左边=lim(n→∞)9*0.1*(1-0.1^n)/(1-0.1)
=0.9*(1-0)/(1-0.1)
=1

　　正确的写法是
　　　　 lim(n→inf.)0.99…9 (小数点后n位) = 1。
　　证明如下：对任给的 ε>0 (ε<1)，为使
　　　　|0.999…9 (小数点后 n 位) - 1| = 0.000…01(小数点后 n 位) = (1/10)^n < ε，
只需 n > -lnε/ln10，于是，取N = [-lnε/ln10]+1，则当 n>N 时，有
　　　　|0.999…9 (小数点后n位) - 1| = (1/10)^n < (1/10)^N <= (1/10)^(-lnε/ln10) = ε，
根据极限的定义，极限成立。