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设A是m*n矩阵,且列向量组线性无关,B是n阶矩阵,满足AB=A,则r(B)等于多少

2024-12-19 14:03:00

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回答1：

易知：A是m*n矩阵,且列向量组线性无关，所以 r(A)=n，所以r(AB)=r(A)=n，
因为 n=r(AB)≤r(B)（或r(A)）≤ n （B是n阶矩阵）
所以 n≤r(B)≤ n =>r(B)=n
（2）此外，由r(AB)=r(A)，其实也可以直接看出B是可逆矩阵，=> r(B)=n
不懂可追问，满意请采纳

回答2：

由 AB=A
得 A(B-E)=0
所以 B-E 的列向量都是齐次线性方程组Ax=0 的解
由于 r(A)=n, 所以齐次线性方程组 Ax=0 只有零解
所以 B-E = 0
所以 B=E
--- 这个结论更强
所以 r(B) = r(E) = n.