已知函数f(x)=4x x2+a .请完成以下任务:(Ⅰ)探究a=1时,函数f(x)在区间[0,+∞)上的

⑴①利用图中表格的数据进行判断，然后利用定义法进行证明；
②把a=1代入f(x)，然后对其进行求导，求出其单调区间，根据图象求出其最值；
⑵①已知函数f(x)＝4x/(x²+a)，(x∈R)，f(-x)=-f(x)，从而证明；

②根据奇函数的性质，画出草图，然后求出其值域．
⑶把a=-1，代入f(x)，对其求导研究函数的单调性，利用f(x)的奇函数，对其进行求解；

解：

⑴①从图中数据可以看出：当0＜x＜1时，y随x的增大而增大，当x≥1时，y随x的增大而减小，
∴函数f(x)，在[0，+∞)上的单调增区间为[0，1]，单调减区间为[1，+∞)，
现在对（1，+∞)上为减函数进行证明；1＜x1＜x2，
∴f(x)在[0，1]上为增函数，在[1，+∞]上为减函数
现在对(1，+∞)上为减函数进行证明；1＜x1＜x2，
   f(x1)-f(x2)

=4x1/(x1²+1)-4x2/(x²+1)

=4[(x2−x1)(x1x2−1)]/(x1²+1)(x2²+1)，

∴x2-x1＞0，x1x2-1＞0，
∴f(x1)-f(x2)＞0，f(x1)＞f(x2)
∴f(x)在(1，+∞)上为减函数，即证；
②∵a=1，∴f(x)=4x/(x²+1)，

∴f′(x)=(4−4x²)/(x²+1)²，

∴当-1＜x＜1时，f′(x)＞0，f(x)为增函数；
当x＞1或x＜-1时，f′(x)＜0，f(x)为减函数；
由上可知，f(x)在x=1点取极大值，∵x＜0，∴f(x)＜0，
∴f(x)在x=1处取最大值，fmax(x)=f(1)=2；
⑵①∵a=1，∴f(x)=4x/(x²+1)，

f(-x)=−4x/((−x)²+1)=-f(x)，f(x)为奇函数；

②∵当-1＜x＜1时，f′(x)＞0，f(x)为增函数；
当x＞1或x＜-1时，f′(x)＜0，f(x)为减函数；
∵x＜0，∴f(x)＜0，画出f(x)的草图：

可得f(x)≤2，f(x)值域为：(-∞，2]
⑶∵a=-1，f(x)的定义域为(-1，1)，
∴f(x)=4x/(x²−1)，f′(x)=-−(x²+1)/(x²−1)²＜0，f(x)为减函数，

∴f(-x)=-f(x)，f(x)为奇函数，
∴f(4−3x)+f(x−3/2)＞0，

f(4-3x)＞-f(x-3/2)，

∴f(4-3x)＞f(3/2-x)，

∵f(x)为减函数，

∴4-3x＜3/2-x，

∴x＞5/4    

∴不等式解集为：(5/4，+∞)

(终于打完了= =。。。)