设A,B为正定矩阵,证明A+B为正定矩阵.

2025-03-21 23:59:49
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回答1:

矩阵A是正定的 等价于 对于任意非零向量a,都有a'Aa>0;
如果A、B都是正定的,那么对于任意非零向量a,都有a'Aa>0;a'Ba>0;
显然对于任意非零向量a,就有a'(A+B)a>0;
所以A+B也是正定的!

只要你搞清一个等价关系就行了,最好用反正法证一下。

在实数范围内:

A为n阶的正定矩阵,则A的n个特征值均为正数 等价于 对于任一n维列向量x,都有x[T]Ax>0,x[T]表示A的转置。

因此有,x[T]Ax>0,x[T]Bx>0,相加得:x[T](A+B)x>0
即得A+B也为正定矩阵。

在复数范围内:

A为n阶的正定矩阵,则A的n个特征值均为正数 等价于 对于任一n维列向量x,都有x[H]Ax>0,x[H]表示A的共轭转置(称为A的Hemite矩阵)。

因此有,x[H]Ax>0,x[H]Bx>0,相加得:x[H](A+B)x>0
即得A+B也为正定矩阵。

回答2:

正定矩阵 是什么形状啊!