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数学竞赛题：已知根号30不是有理数,求证:根号2+根号3+根号5不是有理数

2024-12-17 14:32:46

推荐回答（3个）

回答1：

证明：
因为
设根号2+根号3+根号5 =a
那么
（根号2+根号3+根号5)^2 = 10 +2（根号10+根号15+根号6）
==> （根号2+根号3+根号5 )^2 -10 =2（根号10+根号15+根号6）
所以得到：
[（根号2+根号3+根号5 )^2 - 10]^2 =4 （31 +2（根号30）× （根号2+根号3+根号5））

也就是说 {（a-10)^2} /4 -31 =2（根号30） ×a

假设a是有理数，那么得到（根号30）=『 {（a-10)^2} /4 -31}/（2a）也是有理数，这与已知条件矛盾。
所以a是无理数。

回答2：

应为根号2乘以根号3乘以根号5等于根号30，因为根号30是无理数，所以三个数中至少有一个无理数，所以三个数相加肯定是无理数

回答3：

如果没有已知的话，用反证法。详见喂鸡百科:无理数
http://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%97%A0%E7%90%86%E6%95%B0
但是如果不根据已知条件正面，可能不合出题人意图。