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已知f(x)是周期函数，如何证明f(2x)和f(x+2)也是周期函数，求证明过程

2024-12-25 11:06:44

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回答1：

因为f(x)为
周期函数
，设其周期为T
设g(x)=f(2x)，则g(x)=f(2x)=f(2x+T)=f[2(x+T/2)]=g(x+T/2),所以g(x)是以T/2为周期的周期函数。
设h(x)=f(x+2)=f(x+2+T)=f[(x+T)+2]=h(x+T),所以h(x)是以T为周期的周期函数。

回答2：

已知f(x)为周期函数，设其最小正周期为T，则：f(x+T)=f(x)

在f(2x)中，令x=x+T，则：
f[2(x+T)]=f(2x+2T)=f[(2x+T)+T]=f(2x+T)=f(2x)
所以，f(2x)是以2T为周期的函数。

同理，在f(x+2)中，令x=x+T，则：
f(x+2)=f[(x+T)+2]=f[(x+2)+T]=f(x+2)
所以，f(x+2)是以T为周期的函数。