高中数学求解：数列；函数与零点；极值；平面向量

1:y=2sina(1--sin^2a)=2x--2x^3 ,x属于[-1,1] y/=2--6x^2 当--10，y单调递增。当x=--1时，y=0 ;当x=1/根号3时，y=4根号3/9 ymax=4根号3/9
2:y=2m--2 y^2--m=1--sin^2a+2sina 设b=1--x^2+2x ,-1=0(开口向上，判别式=81--4*4*6<0 恒成立） y/m=(2m-2)/m=2--2/m (1/4<=m<=2) 所以 y/m属于[--6,1] 选A
3没想出来，不过有一些发现。a(n+1) +1=(1+an)(1+bn)/bn b(n+1) +1=(1+an)(1+bn)/an 由此可证an,bn单调递增。(这是一个高赛题，之前好像见到过通过放缩证明an<5)
4：不妨设x15（1） 用数学归纳法证明，n=1时显然成立，假设n=k时命题成立，即（ak--1)^2/4+bk^2/9=1 化简可得：9ak^2 +4bk^2=27+18bk 代入题设的式子可得：a(k+1)=(7ak+6)/(3+2ak) b(k+1)=3bk/(3+2bk) [a(k+1)--1]^2 /4+b(k+1)^2 /9=(5ak+3)^2 /[4*(3+2ak^2)^2] + bk^2/(3+2ak^2)^2 ={(5ak+3)^2+[27ak/【(a(k+1)--2】--9ak^2]^2}/ 4*(3+2ak^2)^2=1 故命题得证。（2）由（1）知，a(k+1)=(7ak+6)/(3+2ak) ，令 (7x+6)/(3+2x)=x得：x^2 --2x--3=0 得：x=3或x=-1 所以有 a(k+1) +1=(9ak+9)/(3+2ak) a(k+1)-3=(ak--3)/(3+2ak) 两式相比; [a(k+1)-3]/ [a(k+1) +1]=(ak--3)/9(ak+1) 故:(ak--3)/(ak+1) =--1/9^(n--1) 所以an=[3^(2n--1) --1]/[3^(2n-2) +1]
楼主，不懂的地方可追问，望采纳！

3.a（n+1）=（1+an+anbn）/bn
a（n+1）bn=an+anbn+1，两边同时加bn。
a（n+1）bn+bn=anbn+an+bn+1=（an+1)(bn+1)
则a（n+1）+1=（an+1）（bn+1）/bn,同理b（n+1）+1=(an+1)(bn+1)/an.
则1/（a（n+1）+1）-1/（b（n+1）+1）=（bn-an）/（an+1）（bn+1）=1/（an+1）-1/（bn+1）
则1/（a2013+1）-1/（b2013+1）=1/（a1+1）-1/（b1+1）=1/6.
于是1/（a2013+1）=1/6+1/（b2013+1）＞1/6.
故a2013+1＜6，a2013＜5。
得【a2013】=4.

第三题和最后一题从分值和题型上明显是竞赛题。慷慨点求助啊。
除了第三题没搞定，其余的都搞定了。没法，缺一题，你还一次上这么多。

第一个，cos^2=1-sin^2 再展开化简 令sin=t 0

50分你丫敢给这么多题。。。