柯西留数定理内容？

在复分析中，留数定理是用来计算解析函数沿着闭曲线的路径积分的一个有力的工具，也可以用来计算实函数的积分。它是柯西积分定理和柯西积分公式的推广。

假设U是复平面上的一个单连通开子集，a1、……、an是复平面上有限个点，f是定义在U \ {a1、……、an}的全纯函数。如果γ是一条把a1、……、an包围起来的可求长曲线，但不经过任何一个ak，并且其起点与终点重合，那么：

如果γ是若尔当曲线，那么I(γ, ak) = 1，因此：

在这里，Res(f, ak)表示f在点ak的留数，I(γ, ak)表示γ关于点ak的卷绕数。卷绕数是一个整数，它描述了曲线γ绕过点ak的次数。如果γ依逆时针方向绕着ak移动，卷绕数就是一个正数，如果γ根本不绕过ak，卷绕数就是零。

在计算柯西分布的特征函数时会出现，用初等的微积分是不可能把它计算出来的。我们把这个积分表示成一个路径积分的极限，积分路径为沿着实直线从�6�1a到a，然后再依逆时针方向沿着以0为中心的半圆从a到�6�1a。取a为大于1，使得虚数单位i包围在曲线里面。路径积分为：

由于eitz是一个整函数（没有任何奇点），这个函数仅当分母z2 + 1为零时才具有奇点。由于z2 + 1 = (z + i)(z �6�1 i)，因此这个函数在z = i或z = �6�1i时具有奇点。这两个点只有一个在路径所包围的区域中。

复变数函数f（z）在点a的某去心邻域0＜\z-a\＜R内解析，即f（z）以有点a为孤立奇点，
复积分(1/2πi)∮f（z）dz（积分曲线是圆\z-a\=r，0＜r＜R）叫做f（z）在点a的留数记为Res[f（z），a]。
留数定理是说，复变数函数f（z）在周线或者复周线所围的区域内有有限多个孤立奇点，并且连续到区域边界的周线上，则f（z）的大范围积分等于在这有限个孤立奇点的留数和乘上因子2πi。

高中数学有，第3册里。