已知二次函数y=-1⼀2x2+bx+c的图像经过a(2,0)、b(0,-6

1. 二次函数y=-1/2x2+bx+c的图像经过a(2,0)、b(0,-6)则

   -6=c ,0=-(1/2)*4+2b+c

   解得：b=4,c=-6

   二次函数解析式为：y=-x²/2+4x-6

2. 对称轴方程为：x=4,

   则C(4,0),所以：|AC|=|4-2|=2，|BO|=6

   S△ABC=（1/2）|AC||BO|=6

3. 由（1）知D(4,2),设P(0,y0)

    因为AD的长度为定值
   

     所以只要求得AP+PD的最小值即可

    因为A与M(-2,0)点关于y轴对称

则连接DM与y轴相交的点就是所求的P点（因为M,P,D共线,此时AP+PD=MP+PD最小）

有求得直线MD的方程为:x-3y+2=0

令x=0得y0=2/3

所以P(0,2/3)

由题：

0=-1/2*4+2b+c
-6=c
b=4
y=-1/2x^2+4x-6

c点坐标（-b/2a,0)=(4,0)

三角形面积=(4-2)*6/2=6

二次函数顶点y=-1/2*4^2+4*4-6=2，顶点D坐标(4,2)
设P坐标(0,t)
AP距离平方=2^2+t^2
PD距离平方=4^2+(t-2)^2
周长最小说明AP距离平方+PD距离平方最小
函数s=2^2+t^2+4^2+(t-2)^2=2t^2-4t+20，求其最小值
可知t=4/(2*2)=1时有最小值20
所以P(0,1)处满足要求。

希望对你有帮助