如何证明n阶希尔伯特矩阵可逆？貌似用科学归纳法，提示给的高斯消元法，化成最简阶梯式然后求行列式的值

如果学过内积和度量矩阵, 可以比较简单的证明这一点.

考虑实数域R上的n维线性空间R[x]_n, 即由关于x的次数小于n的实系数一元多项式构成的线性空间.
对f, g ∈ R[x]_n, 定义(f,g) = ∫{0,1} f(x)g(x)dx.
不难验证(·,·)是双线性的, 此外(f,f) = ∫{0,1} f(x)²dx ≥ 0, 且等号成立当且仅当f = 0.
因此(·,·)是R[x]_n上的一个内积.

R[x]_n有一组基1, x, x²,..., x^(n-1), 考虑上述内积在这组基下的度量矩阵A = (a_ij).
有a_ij = (x^(i-1),x^(j-1)) = ∫{0,1} x^(i-1)·x^(j-1)dx = ∫{0,1} x^(i+j-2)dx = 1/(i+j-1).
因此A就是n阶Hilbert矩阵.

而内积的度量矩阵总是正定矩阵, 因此也是可逆的, 即得Hilbert矩阵可逆.

其实数学归纳法也是可行的, 但是有一定技巧性, 以n = 4为例:
1/1 1/2 1/3 1/4
1/2 1/3 1/4 1/5
1/3 1/4 1/5 1/6
1/4 1/5 1/6 1/7
依次从第1行减去第2行, 第2行减去第3行, 第3行减去第4行, 反复利用1/m-1/n = (n-m)/(mn)得:
1/(1·2) 1/(2·3) 1/(3·4) 1/(4·5)
1/(2·3) 1/(3·4) 1/(4·5) 1/(5·6)
1/(3·4) 1/(4·5) 1/(5·6) 1/(6·7)
1/4 1/5 1/6 1/7
再依次从第1行减去第2行, 第2行减去第3行, 得:
2/(1·2·3) 2/(2·3·4) 2/(3·4·5) 2/(4·5·6)
2/(2·3·4) 2/(3·4·5) 2/(4·5·6) 2/(5·6·7)
1/(3·4) 1/(4·5) 1/(5·6) 1/(6·7)
1/4 1/5 1/6 1/7
然后从第1行减去第2行, 得:
2·3/(1·2·3·4) 2·3/(2·3·4·5) 2·3/(3·4·5·6) 2·3/(4·5·6·7)
2/(2·3·4) 2/(3·4·5) 2/(4·5·6) 2/(5·6·7)
1/(3·4) 1/(4·5) 1/(5·6) 1/(6·7)
1/4 1/5 1/6 1/7
分别从第1, 2, 3行依次提出因子3!, 2!, 1!得(行列式提出因子1!·2!·3!):
1/(1·2·3·4) 1/(2·3·4·5) 1/(3·4·5·6) 1/(4·5·6·7)
1/(2·3·4) 1/(3·4·5) 1/(4·5·6) 1/(5·6·7)
1/(3·4) 1/(4·5) 1/(5·6) 1/(6·7)
1/4 1/5 1/6 1/7
分别从第1, 2, 3, 4列依次提出因子1/4, 1/5, 1/6, 1/7得(行列式提出因子3!/7!):
1/(1·2·3) 1/(2·3·4) 1/(3·4·5) 1/(4·5·6)
1/(2·3) 1/(3·4) 1/(4·5) 1/(5·6)
1/3 1/4 1/5 1/6
1 1 1 1
依次从第1列减去第2列, 第2列减去第3列, 第3列减去第4列, 得:
3/(1·2·3·4) 3/(2·3·4·5) 3/(3·4·5·6) 1/(4·5·6)
2/(2·3·4) 2/(3·4·5) 2/(4·5·6) 1/(5·6)
1/(3·4) 1/(4·5) 1/(5·6) 1/6
0 0 0 1
按第4行展开得:
3/(1·2·3·4) 3/(2·3·4·5) 3/(3·4·5·6)
2/(2·3·4) 2/(3·4·5) 2/(4·5·6)
1/(3·4) 1/(4·5) 1/(5·6)
分别从第1, 2, 3列提出因子1/4, 1/5, 1/6, 从1, 2行提出因子3, 2得(行列式提出因子3!·3!/6!):
1/(1·2·3) 1/(2·3·4) 1/(3·4·5)
1/(2·3) 1/(3·4) 1/(4·5)
1/3 1/4 1/5
分别将第1, 2行乘以因子2!, 1!得(行列式提出因子1/(1!·2!)):
2/(1·2·3) 2/(2·3·4) 2/(3·4·5)
1/(2·3) 1/(3·4) 1/(4·5)
1/3 1/4 1/5
将第1行加上第2行, 得:
1/(1·2) 1/(2·3) 1/(3·4)
1/(2·3) 1/(3·4) 1/(4·5)
1/3 1/4 1/5
依次将第2行加上第3行, 第1行加上第2行, 得:
1/1 1/2 1/3
1/2 1/3 1/4
1/3 1/4 1/5
即得n = 3的Hilbert矩阵.
于是det(H_4) = det(H_3)·(3!)^4/(6!·7!).
对一般的n, 上述过程同样适用, det(H_n) = det(H_(n-1))·((n-1)!)^4/((2n-2)!·(2n-1)!).

化梯矩阵求行列式肯定行不通
分母的值不是一般的大

归纳也不容易
这类题目不好处理