F2上5次本原多项式是哪六个？

GF(32)是GF(2)的5次扩张, 乘法群是31阶循环群.
31是质数, 故乘法群中除1以外都是乘法群生成元, 即原根.
它们在GF(2)上的极小多项式就是GF(2)上的5次本原多项式.
每个5次本原多项式有5个互为共轭的根, 因此共有6个5次本原多项式.

实际上, GF(2)上的5次不可约多项式都是本原多项式.
设f(x)是GF(2)上的5次不可约多项式, 则f(x)的根都包含于GF(2)的5次扩张, 即在GF(32)中.
又f(x)不可约, 故0, 1不是f(x)的根, f(x)的根都是GF(32)中的原根.
此外f(x)的首项系数只能为1, 因此f(x)是GF(2)上的5次本原多项式.

于是, 我们只需找GF(2)上的5次不可约多项式.
不难确定GF(2)上的1次不可约多项式只有: x, x+1;
2次不可约多项式只有x^2+x+1 (GF(2)上的2次多项式不可约当且仅当0, 1都不是根);
3次不可约多项式只有x^3+x+1, x^3+x^2+1 (GF(2)上的2次多项式不可约当且仅当0, 1都不是根).

5次多项式f(x)不被x整除当且仅当其常数项非零.
可设f(x) = x^5+ax^4+bx^3+cx^2+dx+1, 其中a, b, c, d为0或1.
f(x)被x+1整除当且仅当f(1) = 0, 即a+b+c+d = 0.
因此当且仅当a, b, c, d中1的个数为1或3时, f(x)没有1次因子.
此时f(x)若可约, 只能为2次不可约多项式与3次不可约多项式的乘积, 即:
f(x) = (x^2+x+1)(x^3+x+1) = x^5+x^4+1或f(x) = (x^2+x+1)(x^3+x^2+1) = x^5+x+1.
除了上述2个多项式之外, 其它没有1次因子的5次多项式都是不可约的:
x^5+x^2+1, x^5+x^3+1, x^5+x^3+x^2+x+1, x^5+x^4+x^2+x+1, x^5+x^4+x^3+x+1, x^5+x^4+x^3+x^2+1.
这6个多项式即GF(2)上的全体5次不可约多项式, 也即全体5次本原多项式.