1+1⼀2+1⼀3+....+1⼀n等于多少

于是调和级数的前n项部分和满足
Sn=1+1/2+1/3+…+1/n>ln(1+1)+ln(1+1/2)+ln(1+1/3)+…+ln(1+1/n)
=ln2+ln(3/2)+ln(4/3)+…+ln[(n+1)/n]
=ln[2*3/2*4/3*…*(n+1)/n]=ln(n+1)
由于
lim Sn（n→∞）≥lim ln(n+1)（n→∞）=+∞
所以Sn的极限不存在，调和级数发散。
但极限S=lim[1+1/2+1/3+…+1/n-ln(n)]（n→∞）却存在，因为
Sn=1+1/2+1/3+…+1/n-ln(n)>ln(1+1)+ln(1+1/2)+ln(1+1/3)+…+ln(1+1/n)-ln(n)
=ln(n+1)-ln(n)=ln(1+1/n)
由于
lim Sn（n→∞）≥lim ln(1+1/n)（n→∞）=0
因此Sn有下界
而
Sn-S(n+1)=1+1/2+1/3+…+1/n-ln(n)-[1+1/2+1/3+…+1/(n+1)-ln(n+1)]
=ln(n+1)-ln(n)-1/(n+1)=ln(1+1/n)-1/(n+1)>ln(1+1/n)-1/n>0
所以Sn单调递减。由单调有界数列极限定理，可知Sn必有极限，因此
S=lim[1+1/2+1/3+…+1/n-ln(n)]（n→∞）存在。
于是设这个数为γ，这个数就叫作欧拉常数，他的近似值约为0.57721566490153286060651209，目前还不知道它是有理数还是无理数。在微积分学中，欧拉常数γ有许多应用，如求某些数列的极限，某些收敛数项级数的和等。例如求lim[1/(n+1)+1/(n+2)+…+1/(n+n)]（n→∞），可以这样做：
lim[1/(n+1)+1/(n+2)+…+1/(n+n)]（n→∞）=lim[1+1/2+1/3+…+1/(n+n)-ln(n+n)]（n→∞）-lim[1+1/2+1/3+…+1/n-ln(n)]（n→∞）+lim[ln(n+n)-ln(n)]（n→∞）=γ-γ+ln2=ln2

这是调和级数，没有通项公式，有近似公式

1+1/2+1/3+……+1/n=lnn

ln是自然对数，

当n趋于无穷时，

1+1/2+1/3+……+1/n=lnn+R

R为欧拉常数，约为0.5772.

推理查看百科上有，不知道你能不能看懂

1665年牛顿在他的著名著作《流数法》中推导出第一个幂级数：ln(1+x)=x-x2/2+x3/3-...Euler(欧拉)在1734年，利用Newton的成果，首先获得了调和级数有限多项和的值。结果是：1+1/2+1/3+1/4+...+1/n=ln(n+1)+r(r为常量)他的证明是这样的：

根据Newton的幂级数有：ln(1+1/x)=1/x-1/2x^2+1/3x^3-...

于是：

1/x=ln((x+1)/x)+1/2x^2-1/3x^3+...

代入x=1,2,...,n，就给出：

1/1=ln(2)+1/2-1/3+1/4-1/5+...

1/2=ln(3/2)+1/2*4-1/3*8+1/4*16-...

......

1/n=ln((n+1)/n)+1/2n^2-1/3n^3+...

相加，就得到：

1+1/2+1/3+1/4+...1/n=ln(n+1)+1/2*(1+1/4+1/9+...+1/n^2)-1/3*(1+1/8+1/27+...+1/n^3)+......

后面那一串和都是收敛的，我们可以定义

1+1/2+1/3+1/4+...1/n=ln(n+1)+r

Euler近似地计算了r的值，约为0.577218。这个数字就是后来称作的欧拉常数。