如图，抛物线 y=- 1 2 x 2 +bx+c 与x轴交于A、B两点（A点在B点左侧），与y轴交于 点C，对

（1）∵OA=2 ∴A（-2，0） ∵A与B关于直线 x= 1 2 对称 ∴B（3，0）， 由于A、B，两点在抛物线上， ∴ -2-2b+c=0 - 9 2 +3b+C=0 ； 解得 b= 1 2 c=3 ； ∴ y=- 1 2 x 2 + 1 2 x+3 过D作DE⊥x轴于E ∵∠BOC=90°，OD平分∠BOC ∴∠DOB=45°，∠ODE=45°， ∴DE=OE 即x D =y D ， ∴ x=- 1 2 x 2 + 1 2 x+3 ， 解得x 1 =2，x 2 =-3（舍去） ∴D（2，2）；（4分） （2）存在 ∵BD为定值， ∴要使△BPD的周长最小，只需PD+PB最小 ∵A与B关于直线 x= 1 2 对称， ∴PB=PA，只需PD+PA最小 ∴连接AD，交对称轴于点P，此时PD+PA最小，（2分） 由A（-2，0），D（2，2）可得 直线AD： y= 1 2 x+1 （1分） 令 x= 1 2 ， y= 5 4 ∴存在点 P( 1 2 ， 5 4 ) ，使△BPD的周长最小（1分） （3）存在． （i）当AD为平行四边形AMDN的对角线时，MD ∥ AN，即MD ∥ x轴 ∴y M =y D ， ∴M与D关于直线 x= 1 2 对称， ∴M（-1，2）（1分） （ii）当AD为平行四边形ADNM的边时， ∵平行四边形ADNM是中心对称图形，△AND≌△ANM ∴|y M |=|y D |， 即y M =-y D =-2， ∴令 - 1 2 x 2 + 1 2 x+3=-2 ，即x 2 -x-10=0； 解得 x 1，2 = 1± 41 2 ， M( 1+ 41 2 ，-2) 或 M( 1- 41 2 ，-2) ，（2分） 综上所述：满足条件的M点有三个M（-1，2）， M( 1+ 41 2 ，-2) 或 M( 1- 41 2 ，-2）．（1分）