求证等腰梯形的中位线平行于两底等于上底加下底和的一半

证明：

假设梯形ABCD，AD//BC
AB的中点是E，CD的中点是F，连结EF，EF是梯形的中位线
过点E作EF'//BC//AD
则有平行线分线段成等比定理
AE/EB=DF'/F'C=1
所以DF'=F'C
因为DF=FC
所以F'与点F重合
所以EF//BC//AD

连结BD，与EF相交于点K
因为EK//AD且E为AB中点
所以EK是三角形ABD的中位线
EK=(1/2)AD
同理可得KF=(1/2)BC
EF=EK+KF=(1/2)AD+(1/2)BC=(1/2)(AD+BC)

设梯形为ABCD,AB平行于CD,，AD中点为E，BC中点为F
连接BE，交CD延长线于F，此时，EF为三角形BGD中卫线，所以EF平行AB平行CD,EF=0.5BG=0.5(AB+CD)

将这个梯形复制，由这两个梯形拼成平行四边形。答案就出来了。

E

A D

F I G

B H C

延长BA CD 交于E 因为ABCD是等腰梯形

所以角B=角C 所以三角形EBC是等腰三角形 所以EB=EC

因为AB=DC，F G为AB和CD的中点 所以BF=GC 所以EF=EG

所以三角形EBC相似于三角形EFG 所以FG平行于BC且平行于AD

证明等于上下底和的一半 就在D点做AB的平行线 刚刚已经证明中位线平行于下底了 那么 左边那个平行四边形里边的线平行且于上下边 右边的三角形里的线由于平行于底且过一边中点 所以是三角形的中位线 所以等于底的一半 那就是FI=1/2(AD+BH) IG=1/2 HC

所以 FG=1/2 (AD+BC)