经典例题透析
第五章相交线与平行线
1.未正确理解垂线的定义
1．下列判断错误的是（）.
A.一条线段有无数条垂线；
B.过线段AB中点有且只有一条直线与线段AB垂直；
C.两直线相交所成的四个角中，若有一个角为90°，则这两条直线互相垂直；
D.若两条直线相交，则它们互相垂直.
错解：A或B或C.
解析：本题应在正确理解垂直的有关概念下解题，知道垂直是两直线相交时有一角为90°的特殊情况，反之，若两直线相交则不一定垂直.
正解：D.
2.未正确理解垂线段、点到直线的距离
2．下列判断正确的是（）.
A.从直线外一点到已知直线的垂线段叫做这点到已知直线的距离；
B.过直线外一点画已知直线的垂线，垂线的长度就是这点到已知直线的距离；
C.画出已知直线外一点到已知直线的距离；
D.连接直线外一点与直线上各点的所有线段中垂线段最短.
错解：A或B或C.
解析：本题错误原因是不能正确理解垂线段的概念及垂线段的意义.
A.这种说法是错误的，从直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离.仅仅有垂线段，没有指明这条垂线段的长度是错误的.
B.这种说法是错误的，因为垂线是直线，直线没有长短，它可以无限延伸，所以说“垂线的长度”就是错误的；
C.这种说法是错误的，“画”是画图形，画图不能得到数量，只有“量”才能得到数量，这句话应该说成：画出已知直线外一点到已知直线的垂线段，量出垂线段的长度.
正解：D.
3.未准确辨认同位角、内错角、同旁内角
3．如图所示，图中共有内错角（）.
A.2组； B.3组；C.4组； D.5组.
错解：A.
解析：图中的内错角有∠AGF与∠GFD，∠BGF与∠GFC，∠HGF与∠GFC三组.其中∠HGF与∠GFC易漏掉。
正解：B.
4.对平行线的概念、平行公理理解有误
4．下列说法：①过两点有且只有一条直线；②两条直线不平行必相交；③过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；④过一点有且只有一条直线与已知直线平行.其中正确的有（）.
A.1个；B.2个；C.3个； D.4个.
错解：C或D.
解析：平行线的定义必须强调“在同一平面内”的前提条件，所以②是错误的，平行公理中的“过一点”必须强调“过直线外一点”，所以④是错误的，①③是正确的.
正解：B.
5.不能准确识别截线与被截直线，从而误判直线平行
5．如图所示，下列推理中正确的有（）.
①因为∠1＝∠4，所以BC∥AD；②因为∠2＝∠3，所以AB∥CD；
③因为∠BCD＋∠ADC＝180°，所以AD∥BC；④因为∠1＋∠2＋∠C＝180°，所以BC∥AD.
A.1个； B.2个； C.3个； D.4个.
错解：D.
解析：解与平行线有关的问题时，对以下基本图形要熟悉：“”“”“”，只有③推理正确.
正解：A.
6.混淆平行线的判定和性质、忽略平行线的性质成立的前提条件
6．如图所示，直线，∠1＝70°，求∠2的度数.
错解：由于，根据内错角相等，两直线平行，可得∠1＝∠2，又因为∠1＝70°，所以∠2＝70°.
解析：造成这种错误的原因主要是对平行线的判定和性质混淆.在运用的时候要注意：（1）判定是不知道直线平行，是根据某些条件来判定两条直线是否平行；（2）性质是知道两直线平行，是根据两直线平行得到其他关系.
正解：因为（已知），
所以∠1＝∠2（两直线平行，内错角相等），
又因为∠1＝70°（已知），
所以∠2＝70°.
7.对命题这一概念的理解不透彻
7．判断下列语句是否是命题.如果是，请写出它的题设和结论.
（1）内错角相等；（2）对顶角相等；（3）画一个60°的角.
错解：（1）（2）不是命题，（3）是命题.
解析：对于命题的概念理解不透彻，往往认为只有存在因果关系的关联词才是命题，正确认识命题这一概念，关键要注意两点，其一必须是一个语句，是一句话；其二必须存在判断关系，即“是”或“不是”.
正解：
（1）是命题.这个命题的题设是：两条直线被第三条直线所截；结论是：内错角相等.这个命题是一
个错误的命题，即假命题.
（2）是命题.这个命题的题设是：两个角是对顶角；结论是：这两个角相等.这个命题是一个正确的
命题，即真命题.
（3）不是命题，它不是判断一件事情的语句.
8.忽视平移的距离的概念
8．“如图所示，△A′B′C′是△ABC平移得到的，在这个平移中，平移的距离是线段AA′”这句话对吗？
错解：正确.
解析：平移的距离是指两个图形中对应点连线的长度，而不是线段，所以在这个平移过程中，平移的距离应该是线段AA′的长度.
正解：错误.
第六章 平面直角坐标系
1.不能确定点所在的象限
1．点A的坐标满足，试确定点A所在的象限.
错解：因为，所以，，所以点A在第一象限.
解析：本题出错的原因在于漏掉了当，时，的情况，此时点A在第三象限.
正解：因为，所以为同号，即，或，.当，时，点A在第一象限；当，时，点A在第三象限.
2.点到x轴、y轴的距离易混淆
2．求点A（-3，-4）到坐标轴的距离.
错解：点A（-3，-4）到轴的距离为3，到轴的距离为4.
解析：错误的原因是误以为点A（）到轴的距离等于，到轴的距离等于，而事实上，点A（）到轴的距离等于，到轴的距离等于，不熟练时，可结合图形进行分析.
正解：点A（-3，-4）到轴的距离为4，到轴的距离为3.
第七章 三角形
1.画三角形的高易出错
1．如图所示，钝角△ABC中，∠B是钝角，试作出BC边上的高AE.
错解：如图所示：
解析：对三角形高的定义理解不牢，理解不清楚造成的.未抓住垂直这一特征，只是凭主观想象，认为钝角三角形的高和锐角三角形的高一样，也在三角形的内部. AE和BC不垂直在图中是很明显的.
正解：如图所示：
2.不能正确使用三边关系定理
2．有四条线段，长度分别为100px，200px，250px，300px，选其中三条组成三角形，试问可以组成多少个三角形？
错解：有4种情况可以组成三角形：①300px，250px，200px；②300px，250px，100px；③250px，200px，100px；④300px，200px，100px.
解析：这四条线段并不是所有的组合都能构成三角形，还必须满足三边关系定理.其中，300px，200px，100px，不能构成三角形，因为12－8＝4.
正解：有3种情况可以组成三角形：①300px，250px，200px；②300px，250px，100px；③250px，200px，100px.
3.不能区分三角形的外角和内角
3．一个三角形的三个外角中，最多有几个角是锐角？
错解：一个三角形的三个外角中最多可以有三个锐角.
解析：对三角形的内角与外角的概念未能真正理解并加以区分，从而错误地认为三角形的外角也与其内角一样，最多可有三个锐角.
正解：因为三角形的每一个外角都与相邻的内角互补.因为当相邻的内角是钝角时，这个外角才是锐角.又因为三角形中最多只有一个内角是钝角，所以三角形的三个外角中最多只有一个锐角.
4.不能正确地运用三角形的外角性质
4．如图所示，在△ABC中，下列说法正确的是（）.
A.∠ADB＞∠ADE；
B.∠ADB＞∠1＋∠2＋∠3；
C.∠ADB＞∠1＋∠2；
D.以上都对.
错解：A.
错解解析：结论的正确要有理论依据，不能单从直观判断.对“三角形外角等于和它不相邻的两个内角的和”记不准确，造成了错误.
正解：C.
正解解析：∵∠ADB是△ADC的一个外角，∴∠ADB＝∠1＋∠2＋∠3，∴∠ADB＞∠1＋∠2.
5.对多边形的内角和公式掌握不牢
5．一个多边形的内角和为1440°，求其边数.
错解：1440°÷180°＝8.
答：边数为8.
解析：误用多边形内角和公式.
正解：，解得.
答：边数为10.
第八章 二元一次方程组
1.不能正确理解二元一次方程组的定义
1．已知方程组：①，②，③，④，正确的说法是（）.
A.只有①③是二元一次方程组；
B.只有③④是二元一次方程组；
C.只有①④是二元一次方程组；
D.只有②不是二元一次方程组.
错解：A或C.
解析：方程组①④是二元一次方程组，符合定义，方程组③是二元一次方程组，符合定义，而且是最简单、最特殊的二元一次方程组.
正解：D.
2.将方程相加减时弄错符号
2．用加减法解方程组.
错解：①－②得，所以，把代入①，得，解得.所以原方程组的解是.
错解解析：在加减消元时弄错了符号而导致错误.
正解：①－②得，所以，把代入①，得，解得.所以原方程组的解是.
3.将方程变形时忽略常数项
3．利用加减法解方程组.
错解：①×2＋②得，解得.把代入①得，解得.所以原方程组的解是.
错解解析：在①×2＋②这一过程中只把①左边各项都分别与2相乘了，而忽略了等号右边的常数项4.
正解：①×2＋②得，解得.把代入①得，解得.所以原方程组的解是.
4.不能正确找出实际问题中的等量关系
4．两个车间，按计划每月工生产微型电机680台，由于改进技术，上个月第一车间完成计划的120％，第二车间完成计划的115％，结果两个车间一共生产微型电机798台，则上个月两个车间各生产微型电机多少台？若设两车间上个月各生产微型电机台和台，则列方程组为（）.
A.；
B.；
C..
D..
错解：B或D.
解析：错误的原因是等量关系错误，本题中的等量关系为：（1）第一车间实际生产台数＋第二车间实际生产台数＝798台；（2）第一车间计划生产台数＋第二车间计划生产台数＝680台.
正解：C.
第九章 不等式与不等式组
1.在运用不等式性质3时，未改变符号方向
1．利用不等式的性质解不等式：.
错解：根据不等式性质1得，即.根据不等式的性质3，在两边同除以-5，得.
解析：在此解答过程中，由于对性质3的内容没记牢，没有将“＜”变为“＞”，从而得出错误结果.
正解：根据不等式的性质1，在不等式的两边同时减去5，得，根据不等式的性质3，在不等式的两边同时除以-5，得.
2.利用不等式解决实际问题时，忽视问题的实际意义，取值时出现错误
2．某小店每天需水1m³，而自来水厂每天只供一次水，故需要做一个水箱来存水.要求水箱是长方体，底面积为0.81㎡，那么高至少为多少米时才够用？（精确到0.1m）
错解：设高为m时才够用，根据题意得.由.要精确到0.1，所以.
答：高至少为1.2m时才够用.
解析：最后取解时，没有考虑到问题的实际意义，水箱存水量不得小于1m³，如果水箱的高为时正好够，少一点就不够了.故最后取近似值一定要大于，即取近似值时只能入而不能舍.
正解：设高为m时才够用，根据题意得.由于，而要精确到0.1，所以.
答：水箱的高至少为1.3m时才够用.
3.解不等式组时，弄不清“公共部分”的含义
3．解不等式组.
错解：由①得，由②得，所以不等式组的解集为.
错解解析：此题错在对“公共部分”的理解上，误认为两个数之间的部分为“公共部分”（即解集）.实质上，和没有“公共部分”，也就是说此不等式组无解.注意：“公共部分”就是在数轴上两线重叠的部分.
正解：由①得，由②得，所以不等式组无解.
第十章 数据的收集、整理与描述
1.全面调查与抽样调查选择不当
1．调查一批药物的药效持续时间，用哪种调查方式？
错解：全面调查.
解析：此调查若用全面调查具有破坏性，不宜采用全面调查.
正解：抽样调查.
2.未正确理解定义
2．2006年4月11日《文汇报》报道：据不完全统计，至今上海自愿报名去西部地区工作的专业技术人员和管理人员已达3600多人，其中硕士、博士占4％，本科生占79％，大专生占13％.根据上述数据绘制扇形统计图表示这些人员的学历分布情况.
错解：如下图所示：
解析：漏掉其他人员4％，扇形表示的百分比之和不等于1，正确的扇形统计图表示的百分比之和为1.
正解：如下图所示：
3.对频数与频率的意义的理解错误
3．某班组织25名团员为灾区捐款，其中捐款数额前三名的是10元5人，5元10人，2元5人，其余每人捐1元，那么捐10元的学生出现的频率是__________.
错解：捐10元的5人，.
解析：该题的错误是因为将5＋10＋5作为总次数，实际上应是25为总次数，这其实是对频率概念错误理解的结果.
正解：0.2.
4.列频数分布表时的步骤、方法错误
4．26名学生的身高分别为（身高：cm）：
160；162；160；162；160；159；159；169；172；160；
161；150；166；165；159；154；155；158；174；161；
170；156；167；168；163；162.
现要列出频率分布表，请你确定起点和分点数据.
错解：起点为150.5，分三组，150.5～159.5，159.5～169.5，169.5～172.5.
解析：本题产生错误的原因是起点应比最小值略小，组距不相等，前两个过大.
正解：起点为149.5，分五组：149.5～154.5，154.5～159.5，159.5～164.5，164.5～169.5，169.5～174.5.
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