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证明f(x,y)=xy^2⼀(x^2+y^2),当(x,y)趋于(0,0)时极限不存在

2025-01-04 22:52:05

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回答1：

(x,y)要以任意方式趋近(0,0)时,f(x,y)的极限均一致时,f(x,y)的极限才存在这里的"(x,y)要以任意方式趋近"可以理解为"动点(x,y)沿任意曲线y=y(x)趋近"简单起见,就用直线就好了,即y=kx,k为任意实数lim[x->0,y->]f(x,y)=lim[x->0,y->0]xy/(x²+y²)=lim[x->0]kx²/(x²+k²x²)=k/(1+k²)可见lim[x->0,y->0]f(x,y)的值与k的取值有关,不符合"f(x,y)的极限均一致"所以lim[x->0,y->0]f(x,y)不存在

回答2：

该全面极限不存在。
当（x,y）沿y = x 趋向（0,0）时，极限是1/2
当（x,y）沿y = 2x 趋向（0,0）时，极限是2/5
所以极限不存在