如何解如下同余方程组： 4=（3a+14b）(mod 26) (1) 13=(13a+19b) (mod 26) (2)

方法一：
在模26的剩余类环上解线性方程组。algbraic先生给出了很好的解答过程。
注意其中求解矩阵的过程与同余变换的过程，大体可同时使用而不影响。比如求矩阵的逆，就可以是同余意义上的矩阵逆。
并且，求解矩阵的过程，可以利用一切线性代数的成果，只要是求得解，不必拘泥于过程。

方法二：
直接当作线性方程组来解。然后转化。
原理是：ax=b mod m, 当(a,m)=1时，形式等效于x=b/a mod m.
这种表示我最早见是在2000年左右，见于洪伯阳先生编写的<数学宝山上的明珠>，我习惯称之为同余[式]的洪伯阳表示[法]。
下面解
4=3a+14b
13=13a+19b
a,b=1,0时上下两个多项式分别取值3,13
当a,b=?,?时分别取值1,0 再将二者叠加即得解。
[过程：13a+19b=0, 3a+14b=1, 令a=19t, b=-13t, 则(57-182)t=1, t=-1/125]
于是
原方程组解为a,b=1+19t, =13t.
再转化为模的表示，t==-1/125 mod 26==-1/(125-130)==-1/-5==(-1+26)/-5==-5
a==1+19t==1-7t==36==10 mod 26, b==13*(-5)+26*3==13 mod 26

方法三：
如果是利用电脑计算，可以基于方法一，或方法二的思路。
或果是手工计算，尤其是稿纸上计算或心算，可以将方法一与方法二综合为用，快速求解。

方法四：
仅对此例便于计算。计算起来很快。
26=2*13。
4=（3a+14b）(mod 2) (1)
13=(13a+19b) (mod 2) (2)
且
4=（3a+14b）(mod 13) (1_)
13=(13a+19b) (mod 13) (2_)
解出后再逆用中国剩余定理求解。略。

这是一个线性方程组, 可以类比一般的线性方程组进行求解, 只是要在mod 26的剩余类环上运算.

用消元法.
由(2)-4·(1)得a-11b = -3 (mod 26) (3).
(1)-3·(3)得-5b = 13 (mod 26), 乘以5得b = 13 (mod 26).
代回(3)得a = 10 (mod 26).

这种解法不是很系统. 如果学了矩阵, 可以写出方程组的系数矩阵A =
3 14
13 19
行列式3·19-13·14 = 5 (mod 26).
由5·(-5) = 1 (mod 26), 5 (mod 26)的倒数就是-5 (mod 26).
系数矩阵的伴随矩阵A* =
19 -14
-13 3
系数矩阵的逆矩阵为A^(-1) = |A|^(-1)·A* =
9 18
13 11
于是向量(a,b)^T = A^(-1)·(4,13)^T = (10,13)^T.
即方程组的解为a = 10 (mod 26), b = 13 (mod 26).