51问答网 > f(x+1)(1-f(x))=1+f(x),证明:(1).对任何x,f(x)不等于1,f(x)不等于0(2),f(x+2)=1⼀f(x) (3).4是f(x)的周期

f(x+1)(1-f(x))=1+f(x),证明:(1).对任何x,f(x)不等于1,f(x)不等于0(2),f(x+2)=1⼀f(x) (3).4是f(x)的周期

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2024-11-26 12:53:16

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回答1：

1、反证，存在x使得f(x)=1 f(x)=0
则代入题目给的方程：
当f(x)=1时，有f(x+1)*0=2 矛盾
当f(x)=0时，有f(x+1)=1 导致上面的错误出现
所以对任何x,f(x)不等于1,f(x)不等于0
2、由(1)知 f(x)≠1和0
f(x+1)(1-f(x))=1+f(x)得到：f(x+1) =[1+f(x)]/1-f(x)]
则：f(x+2)=f(x+1+1) =[1+f(x+1)]/[1-f(x+1)]
1+f(x+1) = 1+[1+f(x)]/[1-f(x)]=2/[ 1-f(x)]
1-f(x+1)=1-[1+f(x)]/[1-f(x)]=-2f(x)/ [ 1-f(x)]
则：f(x+2)={ 2/[ 1-f(x)]}/{-2f(x)/ [ 1-f(x)]} = -1/f(x)

3、要证4是f(x)的周期，就是要证f(x)=f(x+4)
由(2)得到：f(x+4)=f(x+2+2)=-1/f(x+2)
f(x+2)=-1/f(x)
则有：f(x+4)=f(x)得证