求：高中数学公式（要详细的哦）

数学高考基础知识、常见结论详解

一、集合与简易逻辑：
一、理解集合中的有关概念
（1）集合中元素的特征： 确定性 ， 互异性 ， 无序性 。
集合元素的互异性：如： ， ，求 ；
（2）集合与元素的关系用符号 ， 表示。
（3）常用数集的符号表示：自然数集 ；正整数集 、 ；整数集 ；有理数集 、实数集 。
（4）集合的表示法： 列举法 ， 描述法 ， 韦恩图 。
注意：区分集合中元素的形式：如： ； ； ； ； ；
；
（5）空集是指不含任何元素的集合。（ 、 和 的区别；0与三者间的关系）
空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。
注意：条件为 ，在讨论的时候不要遗忘了 的情况。
如： ，如果 ，求 的取值。
二、集合间的关系及其运算
（1）符号“ ”是表示元素与集合之间关系的，立体几何中的体现 点与直线（面）的关系 ；
符号“ ”是表示集合与集合之间关系的，立体几何中的体现 面与直线(面)的关系 。
（2） ； ；

（3）对于任意集合 ，则：
① ； ； ；
② ； ；
； ；
③ ； ；
（4）①若 为偶数，则 ；若 为奇数，则 ；
②若 被3除余0，则 ；若 被3除余1，则 ；若 被3除余2，则 ；
三、集合中元素的个数的计算：
（1）若集合 中有 个元素，则集合 的所有不同的子集个数为_________，所有真子集的个数是__________，所有非空真子集的个数是 。
（2） 中元素的个数的计算公式为： ；
（3）韦恩图的运用：
四、 满足条件 ， 满足条件 ，
若 ；则 是 的充分非必要条件 ；
若 ；则 是 的必要非充分条件 ；
若 ；则 是 的充要条件 ；
若 ；则 是 的既非充分又非必要条件 ；
五、原命题与逆否命题，否命题与逆命题具有相同的 ；
注意：“若 ，则 ”在解题中的运用，
如：“ ”是“ ”的 条件。
六、反证法：当证明“若 ，则 ”感到困难时，改证它的等价命题“若 则 ”成立，
步骤：1、假设结论反面成立；2、从这个假设出发，推理论证，得出矛盾；3、由矛盾判断假设不成立，从而肯定结论正确。
矛盾的来源：1、与原命题的条件矛盾；2、导出与假设相矛盾的命题；3、导出一个恒假命题。
适用与待证命题的结论涉及“不可能”、“不是”、“至少”、“至多”、“唯一”等字眼时。
正面词语 等于 大于 小于 是 都是 至多有一个
否定

正面词语 至少有一个 任意的 所有的 至多有n个 任意两个
否定

二、函数
一、映射与函数：
（1）映射的概念： （2）一一映射：（3）函数的概念：
如：若 ， ；问： 到 的映射有 个， 到 的映射有 个； 到 的函数有 个，若 ，则 到 的一一映射有 个。
函数 的图象与直线 交点的个数为 个。
二、函数的三要素： ， ， 。
相同函数的判断方法：① ；② (两点必须同时具备)
（1）函数解析式的求法：
①定义法（拼凑）：②换元法：③待定系数法：④赋值法：
（2）函数定义域的求法：
① ，则 ； ② 则 ；
③ ，则 ； ④如： ，则 ；
⑤含参问题的定义域要分类讨论；
如：已知函数 的定义域是 ，求 的定义域。
⑥对于实际问题，在求出函数解析式后；必须求出其定义域，此时的定义域要根据实际意义来确定。如：已知扇形的周长为20，半径为 ，扇形面积为 ，则 ；定义域为 。
（3）函数值域的求法：
①配方法：转化为二次函数，利用二次函数的特征来求值；常转化为型如： 的形式；
②逆求法（反求法）：通过反解，用 来表示 ，再由 的取值范围，通过解不等式，得出 的取值范围；常用来解，型如： ；
④换元法：通过变量代换转化为能求值域的函数，化归思想；
⑤三角有界法：转化为只含正弦、余弦的函数，运用三角函数有界性来求值域；
⑥基本不等式法：转化成型如： ，利用平均值不等式公式来求值域；
⑦单调性法：函数为单调函数，可根据函数的单调性求值域。
⑧数形结合：根据函数的几何图形，利用数型结合的方法来求值域。
求下列函数的值域：① （2种方法）；
② （2种方法）；③ （2种方法）；
三、函数的性质：
函数的单调性、奇偶性、周期性
单调性：定义：注意定义是相对与某个具体的区间而言。
判定方法有：定义法（作差比较和作商比较）
导数法（适用于多项式函数）
复合函数法和图像法。
应用：比较大小，证明不等式，解不等式。
奇偶性：定义：注意区间是否关于原点对称，比较f(x) 与f(-x)的关系。f(x) －f(-x)=0 f(x) =f(-x) f(x)为偶函数；
f(x)+f(-x)=0 f(x) =－f(-x) f(x)为奇函数。
判别方法：定义法， 图像法 ，复合函数法
应用：把函数值进行转化求解。
周期性：定义：若函数f(x)对定义域内的任意x满足：f(x+T)=f(x),则T为函数f(x)的周期。
其他：若函数f(x)对定义域内的任意x满足：f(x+a)=f(x－a),则2a为函数f(x)的周期.
应用：求函数值和某个区间上的函数解析式。
四、图形变换：函数图像变换：（重点）要求掌握常见基本函数的图像，掌握函数图像变换的一般规律。
常见图像变化规律：（注意平移变化能够用向量的语言解释，和按向量平移联系起来思考）
平移变换 y=f(x)→y=f(x+a),y=f(x)+b
注意：（ⅰ）有系数，要先提取系数。如：把函数y＝f(2x)经过 平移得到函数y＝f(2x＋4)的图象。
（ⅱ）会结合向量的平移，理解按照向量 （m，n）平移的意义。
对称变换 y=f(x)→y=f(－x),关于y轴对称
y=f(x)→y=－f(x) ,关于x轴对称
y=f(x)→y=f|x|,把x轴上方的图象保留，x轴下方的图象关于x轴对称
y=f(x)→y=|f(x)|把y轴右边的图象保留，然后将y轴右边部分关于y轴对称。（注意：它是一个偶函数）
伸缩变换：y=f(x)→y=f(ωx),
y=f(x)→y=Af(ωx+φ)具体参照三角函数的图象变换。
一个重要结论：若f(a－x)＝f(a+x)，则函数y=f(x)的图像关于直线x=a对称；
如： 的图象如图，作出下列函数图象：
（1） ；（2） ；
（3） ；（4） ；
（5） ；（6） ；
（7） ；（8） ；
（9） 。
五、反函数：
（1）定义：
（2）函数存在反函数的条件： ；
（3）互为反函数的定义域与值域的关系： ；
（4）求反函数的步骤：①将 看成关于 的方程，解出 ，若有两解，要注意解的选择；②将 互换，得 ；③写出反函数的定义域（即 的值域）。
（5）互为反函数的图象间的关系： ；
（6）原函数与反函数具有相同的单调性；
（7）原函数为奇函数，则其反函数仍为奇函数；原函数为偶函数，它一定不存在反函数。
如：求下列函数的反函数： ； ；
七、常用的初等函数：
（1）一元一次函数： ，当 时，是增函数；当 时，是减函数；
（2）一元二次函数：
一般式： ；对称轴方程是 ；顶点为 ；
两点式： ；对称轴方程是 ；与 轴的交点为 ；
顶点式： ；对称轴方程是 ；顶点为 ；
①一元二次函数的单调性：
当 时： 为增函数； 为减函数；当 时： 为增函数； 为减函数；
②二次函数求最值问题：首先要采用配方法，化为 的形式，
Ⅰ、若顶点的横坐标在给定的区间上，则
时：在顶点处取得最小值，最大值在距离对称轴较远的端点处取得；
时：在顶点处取得最大值，最小值在距离对称轴较远的端点处取得；
Ⅱ、若顶点的横坐标不在给定的区间上，则
时：最小值在距离对称轴较近的端点处取得，最大值在距离对称轴较远的端点处取得；
时：最大值在距离对称轴较近的端点处取得，最小值在距离对称轴较远的端点处取得；
有三个类型题型：
(1)顶点固定，区间也固定。如：
(2)顶点含参数(即顶点变动)，区间固定，这时要讨论顶点横坐标何时在区间之内，何时在区间之外。
(3)顶点固定，区间变动，这时要讨论区间中的参数．
③二次方程实数根的分布问题： 设实系数一元二次方程 的两根为 ；则：
根的情况
等价命题 在区间 上有两根 在区间 上有两根 在区间 或 上有一根
充要条件
注意：若在闭区间 讨论方程 有实数解的情况，可先利用在开区间 上实根分布的情况，得出结果，在令 和 检查端点的情况。
（3）反比例函数：
（4）指数函数：
指数运算法则： ； ； 。
指数函数：y= (a>o,a≠1)，图象恒过点（0，1），单调性与a的值有关，在解题中，往往要对a分a>1和0（5）对数函数：
指数运算法则： ； ； ；
对数函数：y= (a>o,a≠1) 图象恒过点（1，0），单调性与a的值有关，在解题中，往往要对a分a>1和0注意：（1） 与 的图象关系是 ；
（2）比较两个指数或对数的大小的基本方法是构造相应的指数或对数函数，若底数不相同时转化为同底数的指数或对数，还要注意与1比较或与0比较。
（3）已知函数 的定义域为 ，求 的取值范围。
已知函数 的值域为 ，求 的取值范围。
六、 的图象：
定义域： ；值域： ； 奇偶性： ； 单调性： 是增函数； 是减函数。
七、补充内容：
抽象函数的性质所对应的一些具体特殊函数模型：
① 正比例函数
② ； ；
③ ； ；
④ ；
三、导 数
1．求导法则：
(c)/=0 这里c是常数。即常数的导数值为0。
(xn)/=nxn－1 特别地：(x)/=1 (x－1)/= ( )/=－x-2 (f(x)±g(x))/= f/(x)±g/(x) (k•f(x))/= k•f/(x)
2．导数的几何物理意义：
k＝f/(x0)表示过曲线y=f(x)上的点P(x0,f(x0))的切线的斜率。
V＝s/(t) 表示即时速度。a=v/(t) 表示加速度。
3．导数的应用：
①求切线的斜率。
②导数与函数的单调性的关系
一 与 为增函数的关系。
能推出 为增函数，但反之不一定。如函数 在 上单调递增，但 ，∴ 是 为增函数的充分不必要条件。
二 时， 与 为增函数的关系。
若将 的根作为分界点，因为规定 ，即抠去了分界点，此时 为增函数，就一定有 。∴当 时， 是 为增函数的充分必要条件。
三 与 为增函数的关系。
为增函数，一定可以推出 ，但反之不一定，因为 ，即为 或 。当函数在某个区间内恒有 ，则 为常数，函数不具有单调性。∴ 是 为增函数的必要不充分条件。
函数的单调性是函数一条重要性质，也是高中阶段研究的重点，我们一定要把握好以上三个关系，用导数判断好函数的单调性。因此新教材为解决单调区间的端点问题，都一律用开区间作为单调区间，避免讨论以上问题，也简化了问题。但在实际应用中还会遇到端点的讨论问题，要谨慎处理。
四单调区间的求解过程，已知 （1）分析 的定义域;（2）求导数 （3）解不等式 ，解集在定义域内的部分为增区间（4）解不等式 ，解集在定义域内的部分为减区间。
我们在应用导数判断函数的单调性时一定要搞清以下三个关系，才能准确无误地判断函数的单调性。以下以增函数为例作简单的分析，前提条件都是函数 在某个区间内可导。
③求极值、求最值。
注意：极值≠最值。函数f(x)在区间[a,b]上的最大值为极大值和f(a) 、f(b)中最大的一个。最小值为极小值和f(a) 、f(b)中最小的一个。
f/(x0)＝0不能得到当x=x0时，函数有极值。
但是，当x=x0时，函数有极值 f/(x0)＝0
判断极值，还需结合函数的单调性说明。
4.导数的常规问题：
（1）刻画函数（比初等方法精确细微）；
（2）同几何中切线联系（导数方法可用于研究平面曲线的切线）；
（3）应用问题（初等方法往往技巧性要求较高，而导数方法显得简便）等关于 次多项式的导数问题属于较难类型。
2．关于函数特征，最值问题较多，所以有必要专项讨论，导数法求最值要比初等方法快捷简便。
3．导数与解析几何或函数图象的混合问题是一种重要类型，也是高考中考察综合能力的一个方向，应引起注意。
四、不等式
一、不等式的基本性质：
注意：(1)特值法是判断不等式命题是否成立的一种方法，此法尤其适用于不成立的命题。
(2)注意课本上的几个性质，另外需要特别注意：
①若ab>0，则 。即不等式两边同号时，不等式两边取倒数，不等号方向要改变。
②如果对不等式两边同时乘以一个代数式，要注意它的正负号，如果正负号未定，要注意分类讨论。
③图象法：利用有关函数的图象（指数函数、对数函数、二次函数、三角函数的图象），直接比较大小。
④中介值法：先把要比较的代数式与“0”比，与“1”比，然后再比较它们的大小
二、均值不等式：两个数的算术平均数不小于它们的几何平均数。
若 ，则 （当且仅当 时取等号）
基本变形：① ； ；
②若 ，则 ，
基本应用：①放缩，变形；
②求函数最值：注意：①一正二定三取等；②积定和小，和定积大。
当 （常数），当且仅当 时， ；
当 （常数），当且仅当 时， ；
常用的方法为：拆、凑、平方；
如：①函数 的最小值 。
②若正数 满足 ，则 的最小值 。
三、绝对值不等式：
注意：上述等号“＝”成立的条件；
四、常用的基本不等式：
（1）设 ，则 （当且仅当 时取等号）
（2） （当且仅当 时取等号）； （当且仅当 时取等号）
（3） ； ；
五、证明不等式常用方法：
（1）比较法：作差比较：
作差比较的步骤：
⑴作差：对要比较大小的两个数（或式）作差。
⑵变形：对差进行因式分解或配方成几个数（或式）的完全平方和。
⑶判断差的符号：结合变形的结果及题设条件判断差的符号。
注意：若两个正数作差比较有困难，可以通过它们的平方差来比较大小。
（2）综合法：由因导果。
（3）分析法：执果索因。基本步骤：要证……只需证……，只需证……
（4）反证法：正难则反。
（5）放缩法：将不等式一侧适当的放大或缩小以达证题目的。
放缩法的方法有：
⑴添加或舍去一些项，如： ；
⑵将分子或分母放大（或缩小）
⑶利用基本不等式，如： ；

⑷利用常用结论：
Ⅰ、 ；
Ⅱ、 ； （程度大）
Ⅲ、 ； （程度小）
（6）换元法：换元的目的就是减少不等式中变量，以使问题化难为易，化繁为简，常用的换元有三角换元和代数换元。如：
已知 ，可设 ；
已知 ，可设 ( )；
已知 ，可设 ；
已知 ，可设 ；
（7）构造法：通过构造函数、方程、数列、向量或不等式来证明不等式；
六、不等式的解法：
（1）一元一次不等式：
Ⅰ、 ：⑴若 ，则 ；⑵若 ，则 ；
Ⅱ、 ：⑴若 ，则 ；⑵若 ，则 ；
（2）一元二次不等式： 一元二次不等式二次项系数小于零的，同解变形为二次项系数大于零；注：要对 进行讨论：
（5）绝对值不等式：若 ，则 ； ；
注意：(1).几何意义： ： ； ： ；
(2)解有关绝对值的问题，考虑去绝对值，去绝对值的方法有：
⑴对绝对值内的部分按大于、等于、小于零进行讨论去绝对值；①若 则 ；②若 则 ；③若 则 ；
(3).通过两边平方去绝对值；需要注意的是不等号两边为非负值。
(4).含有多个绝对值符号的不等式可用“按零点分区间讨论”的方法来解。
（6）分式不等式的解法：通解变形为整式不等式；
⑴ ；⑵ ；
⑶ ；⑷ ；
（7）不等式组的解法：分别求出不等式组中，每个不等式的解集，然后求其交集，即是这个不等式组的解集，在求交集中，通常把每个不等式的解集画在同一条数轴上，取它们的公共部分。
（8）解含有参数的不等式：
解含参数的不等式时，首先应注意考察是否需要进行分类讨论.如果遇到下述情况则一般需要讨论：
①不等式两端乘除一个含参数的式子时，则需讨论这个式子的正、负、零性.
②在求解过程中，需要使用指数函数、对数函数的单调性时，则需对它们的底数进行讨论.
③在解含有字母的一元二次不等式时，需要考虑相应的二次函数的开口方向，对应的一元二次方程根的状况（有时要分析△），比较两个根的大小,设根为 （或更多）但含参数，要分 、 、 讨论。

五、数列
本章是高考命题的主体内容之一，应切实进行全面、深入地复习，并在此基础上，突出解决下述几个问题：（1）等差、等比数列的证明须用定义证明，值得注意的是，若给出一个数列的前 项和 ，则其通项为 若 满足 则通项公式可写成 .（2）数列计算是本章的中心内容，利用等差数列和等比数列的通项公式、前 项和公式及其性质熟练地进行计算，是高考命题重点考查的内容.（3）解答有关数列问题时，经常要运用各种数学思想.善于使用各种数学思想解答数列题，是我们复习应达到的目标. ①函数思想：等差等比数列的通项公式求和公式都可以看作是 的函数，所以等差等比数列的某些问题可以化为函数问题求解.
②分类讨论思想：用等比数列求和公式应分为 及 ；已知 求 时，也要进行分类；
③整体思想：在解数列问题时，应注意摆脱呆板使用公式求解的思维定势，运用整
体思想求解.
（4）在解答有关的数列应用题时，要认真地进行分析，将实际问题抽象化，转化为数学问题，再利用有关数列知识和方法来解决.解答此类应用题是数学能力的综合运用，决不是简单地模仿和套用所能完成的.特别注意与年份有关的等比数列的第几项不要弄错.
一、基本概念：
1、 数列的定义及表示方法：
2、 数列的项与项数：
3、 有穷数列与无穷数列：
4、 递增（减）、摆动、循环数列：
5、 数列{an}的通项公式an：
6、 数列的前n项和公式Sn:
7、 等差数列、公差d、等差数列的结构：
8、 等比数列、公比q、等比数列的结构：
二、基本公式：
9、一般数列的通项an与前n项和Sn的关系：an=
10、等差数列的通项公式：an=a1+(n-1)d an=ak+(n-k)d (其中a1为首项、ak为已知的第k项) 当d≠0时，an是关于n的一次式；当d=0时，an是一个常数。
11、等差数列的前n项和公式：Sn= Sn= Sn=
当d≠0时，Sn是关于n的二次式且常数项为0；当d=0时（a1≠0），Sn=na1是关于n的正比例式。

12、等比数列的通项公式： an= a1 qn-1 an= ak qn-k
(其中a1为首项、ak为已知的第k项，an≠0)
13、等比数列的前n项和公式：当q=1时，Sn=n a1 (是关于n的正比例式)；
当q≠1时，Sn= Sn=
三、有关等差、等比数列的结论
14、等差数列{an}的任意连续m项的和构成的数列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m - S3m、……仍为等差数列。
15、等差数列{an}中，若m+n=p+q，则
16、等比数列{an}中，若m+n=p+q，则
17、等比数列{an}的任意连续m项的和构成的数列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m - S3m、……仍为等比数列。
18、两个等差数列{an}与{bn}的和差的数列{an+bn}、{an-bn}仍为等差数列。
19、两个等比数列{an}与{bn}的积、商、倒数组成的数列
{an bn}、 、 仍为等比数列。
20、等差数列{an}的任意等距离的项构成的数列仍为等差数列。
21、等比数列{an}的任意等距离的项构成的数列仍为等比数列。
22、三个数成等差的设法：a-d,a,a+d；四个数成等差的设法：a-3d,a-d,,a+d,a+3d
23、三个数成等比的设法：a/q,a,aq；
四个数成等比的错误设法：a/q3,a/q,aq,aq3 (为什么？)
24、{an}为等差数列，则 (c>0)是等比数列。
25、{bn}（bn>0）是等比数列，则{logcbn} (c>0且c 1) 是等差数列。
26. 在等差数列 中：
（1）若项数为 ，则
（2）若数为 则， ，
27. 在等比数列 中：
（1） 若项数为 ，则
（2）若数为 则，
四、数列求和的常用方法：公式法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等。关键是找数列的通项结构。
28、分组法求数列的和：如an=2n+3n
29、错位相减法求和：如an=(2n-1)2n
30、裂项法求和：如an=1/n(n+1)
31、倒序相加法求和：如an=
32、求数列{an}的最大、最小项的方法：
① an+1-an=…… 如an= -2n2+29n-3
② (an>0) 如an=
③ an=f(n) 研究函数f(n)的增减性 如an=
33、在等差数列 中,有关Sn 的最值问题——常用邻项变号法求解：
(1)当 >0,d<0时，满足 的项数m使得 取最大值.
(2)当 <0,d>0时，满足 的项数m使得 取最小值。
在解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用。
六、平面向量
1．基本概念：
向量的定义、向量的模、零向量、单位向量、相反向量、共线向量、相等向量。
2． 加法与减法的代数运算：
(1) ．
(2)若a=（ ）,b=（ ）则a b=（ ）．
向量加法与减法的几何表示：平行四边形法则、三角形法则。
以向量 = 、 = 为邻边作平行四边形ABCD，则两条对角线的向量 = + , = － , = －
且有｜ ｜－｜ ｜≤｜ ｜≤｜ ｜+｜ ｜．
向量加法有如下规律： ＋ = ＋ (交换律); +( +c)=( + )+c （结合律）;
+0= ＋(－ )=0.
3．实数与向量的积：实数 与向量 的积是一个向量。
(1)｜ ｜=｜ ｜·｜ ｜;
(2) 当 ＞0时， 与 的方向相同；当 ＜0时， 与 的方向相反；当 =0时， =0．
(3)若 =（ ），则 · =（ ）．
两个向量共线的充要条件：
(1) 向量b与非零向量 共线的充要条件是有且仅有一个实数 ，使得b= ．
(2) 若 =（ ）,b=（ ）则 ‖b ．
平面向量基本定理：
若e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量 ，有且只有一对实数 ， ，使得 = e1+ e2．
4．P分有向线段 所成的比：
设P1、P2是直线 上两个点，点P是 上不同于P1、P2的任意一点，则存在一个实数 使 = ， 叫做点P分有向线段 所成的比。
当点P在线段 上时， ＞0；当点P在线段 或 的延长线上时， ＜0；
分点坐标公式：若 = ； 的坐标分别为（ ）,（ ）,（ ）；则 （ ≠－1）， 中点坐标公式： ．
5． 向量的数量积：
（1）．向量的夹角：
已知两个非零向量 与b，作 = , =b,则∠AOB= （ ）叫做向量 与b的夹角。
（2）．两个向量的数量积：
已知两个非零向量 与b，它们的夹角为 ，则 ·b=｜ ｜·｜b｜cos ．
其中｜b｜cos 称为向量b在 方向上的投影．
（3）．向量的数量积的性质：
若 =（ ）,b=（ ）则e· = ·e=｜ ｜cos (e为单位向量);
⊥b ·b=0 （ ，b为非零向量）;｜ ｜= ;
cos = = ．
(4) ．向量的数量积的运算律：
·b=b· ;( )·b= ( ·b)= ·( b);( ＋b)·c= ·c+b·c．
6.主要思想与方法：
本章主要树立数形转化和结合的观点，以数代形，以形观数，用代数的运算处理几何问题，特别是处理向量的相关位置关系，正确运用共线向量和平面向量的基本定理，计算向量的模、两点的距离、向量的夹角，判断两向量是否垂直等。由于向量是一新的工具，它往往会与三角函数、数列、不等式、解几等结合起来进行综合考查，是知识的交汇点。
七、立体几何
1.平面的基本性质：掌握三个公理及推论，会说明共点、共线、共面问题。
能够用斜二测法作图。
2.空间两条直线的位置关系：平行、相交、异面的概念；
会求异面直线所成的角和异面直线间的距离；证明两条直线是异面直线一般用反证法。
3.直线与平面
①位置关系：平行、直线在平面内、直线与平面相交。
②直线与平面平行的判断方法及性质,判定定理是证明平行问题的依据。
③直线与平面垂直的证明方法有哪些？
④直线与平面所成的角：关键是找它在平面内的射影，范围是{00.900}
⑤三垂线定理及其逆定理：每年高考试题都要考查这个定理. 三垂线定理及其逆定理主要用于证明垂直关系与空间图形的度量.如：证明异面直线垂直，确定二面角的平面角，确定点到直线的垂线.
4.平面与平面
(1)位置关系：平行、相交，（垂直是相交的一种特殊情况）
(2)掌握平面与平面平行的证明方法和性质。
(3)掌握平面与平面垂直的证明方法和性质定理。尤其是已知两平面垂直，一般是依据性质定理，可以证明线面垂直。
(4)两平面间的距离问题→点到面的距离问题→
(5)二面角。二面角的平面交的作法及求法：
①定义法，一般要利用图形的对称性；一般在计算时要解斜三角形；
②垂线、斜线、射影法，一般要求平面的垂线好找，一般在计算时要解一个直角三角形。
③射影面积法，一般是二面交的两个面只有一个公共点，两个面的交线不容易找到时用此法

高中数学常用公式及常用结论
1. 元素与集合的关系
,.
2.德摩根公式
.
3.包含关系
4.容斥原理
.
5.集合的子集个数共有 个;真子集有–1个;非空子集有 –1个;非空的真子集有–2个.
6.二次函数的解析式的三种形式
(1)一般式;
(2)顶点式;
(3)零点式.
7.解连不等式常有以下转化形式
.
8.方程在上有且只有一个实根,与不等价,前者是后者的一个必要而不是充分条件.特别地, 方程有且只有一个实根在内,等价于,或且,或且.
9.闭区间上的二次函数的最值
二次函数在闭区间上的最值只能在处及区间的两端点处取得,具体如下:
(1)当a>0时,若,则;
,,.
(2)当a0)
(1),则的周期T=a;
(2),
或,
或,
或,则的周期T=2a;
(3),则的周期T=3a;
(4)且,则的周期T=4a;
(5)
,则的周期T=5a;
(6),则的周期T=6a.
30.分数指数幂
(1)(,且).
(2)(,且).
31.根式的性质
(1).
(2)当为奇数时,;
当为偶数时,.
32.有理指数幂的运算性质
(1) .
(2) .
(3).
注: 若a>0,p是一个无理数,则ap表示一个确定的实数.上述有理指数幂的运算性质,对于无理数指数幂都适用.
33.指数式与对数式的互化式
.
34.对数的换底公式
(,且,,且, ).
推论 (,且,,且,, ).
35.对数的四则运算法则
若a>0,a≠1,M>0,N>0,则
(1);
(2) ;
(3).
36.设函数,记.若的定义域为,则,且;若的值域为,则,且.对于的情形,需要单独检验.
37. 对数换底不等式及其推广
若,,,,则函数
(1)当时,在和上为增函数.
, (2)当时,在和上为减函数.
推论:设,,,且,则
(1).
(2).
38. 平均增长率的问题
如果原来产值的基础数为N,平均增长率为,则对于时间的总产值,有.
39.数列的同项公式与前n项的和的关系
( 数列的前n项的和为).
40.等差数列的通项公式
;
其前n项和公式为
.
41.等比数列的通项公式
;
其前n项的和公式为
或.
42.等比差数列:的通项公式为
;
其前n项和公式为
.
43.分期付款(按揭贷款)
每次还款元(贷款元,次还清,每期利率为).
44.常见三角不等式
(1)若,则.
(2) 若,则.
(3) .
45.同角三角函数的基本关系式
,=,.
46.正弦,余弦的诱导公式

47.和角与差角公式
;
;
.
(平方正弦公式);
.
=(辅助角所在象限由点的象限决定, ).
48.二倍角公式
.
.
.
49. 三倍角公式
.
..
50.三角函数的周期公式
函数,x∈R及函数,x∈R(A,ω,为常数,且A≠0,ω>0)的周期;函数,(A,ω,为常数,且A≠0,ω>0)的周期.
51.正弦定理
.
52.余弦定理
;
;
.
53.面积定理
(1)(分别表示a,b,c边上的高).
(2).
(3).
54.三角形内角和定理
在△ABC中,有
.
55. 简单的三角方程的通解
.
.
.
特别地,有
.
.
.
56.最简单的三角不等式及其解集
.
.
.
.
.
.
57.实数与向量的积的运算律
设λ,μ为实数,那么
(1) 结合律:λ(μa)=(λμ)a;
(2)第一分配律:(λ+μ)a=λa+μa;
(3)第二分配律:λ(a+b)=λa+λb.
58.向量的数量积的运算律:
(1) a·b= b·a (交换律);
(2)(a)·b= (a·b)=a·b= a·(b);
(3)(a+b)·c= a ·c +b·c.
59.平面向量基本定理
如果e1,e 2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量,有且只有一对实数λ1,λ2,使得a=λ1e1+λ2e2.
不共线的向量e1,e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.
60.向量平行的坐标表示
设a=,b=,且b0,则ab(b0).
53. a与b的数量积(或内积)
a·b=|a||b|cosθ.
61. a·b的几何意义
数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积.
62.平面向量的坐标运算
(1)设a=,b=,则a+b=.
(2)设a=,b=,则a-b=.
(3)设A,B,则.
(4)设a=,则a=.
(5)设a=,b=,则a·b=.
63.两向量的夹角公式
(a=,b=).
64.平面两点间的距离公式
=
(A,B).
65.向量的平行与垂直
设a=,b=,且b0,则
A||bb=λa .
ab(a0)a·b=0.
66.线段的定比分公式
设,,是线段的分点,是实数,且,则
().
67.三角形的重心坐标公式
△ABC三个顶点的坐标分别为,,,则△ABC的重心的坐标是.
68.点的平移公式
.
注:图形F上的任意一点P(x,y)在平移后图形上的对应点为,且的坐标为.
69."按向量平移"的几个结论
(1)点按向量a=平移后得到点.
(2) 函数的图象按向量a=平移后得到图象,则的函数解析式为.
(3) 图象按向量a=平移后得到图象,若的解析式,则的函数解析式为.
(4)曲线:按向量a=平移后得到图象,则的方程为.
(5) 向量m=按向量a=平移后得到的向量仍然为m=.
70. 三角形五"心"向量形式的充要条件
设为所在平面上一点,角所对边长分别为,则
(1)为的外心.
(2)为的重心.
(3)为的垂心.
(4)为的内心.
(5)为的的旁心.
71.常用不等式:
(1)(当且仅当a=b时取"="号).
(2)(当且仅当a=b时取"="号).
(3)
(4)柯西不等式
(5).
72.极值定理
已知都是正数,则有
(1)若积是定值,则当时和有最小值;
(2)若和是定值,则当时积有最大值.
推广 已知,则有
(1)若积是定值,则当最大时,最大;
当最小时,最小.
(2)若和是定值,则当最大时, 最小;
当最小时, 最大.
73.一元二次不等式,如果与同号,则其解集在两根之外;如果与异号,则其解集在两根之间.简言之:同号两根之外,异号两根之间.
;
.
74.含有绝对值的不等式
当a> 0时,有
.
或.
75.无理不等式
(1) .
(2).
(3).
76.指数不等式与对数不等式
(1)当时,
;
.
(2)当时,
;
77.斜率公式
(,).
78.直线的五种方程
(1)点斜式 (直线过点,且斜率为).
(2)斜截式 (b为直线在y轴上的截距).
(3)两点式 ()(, ()).
(4)截距式 (分别为直线的横,纵截距,)
(5)一般式 (其中A,B不同时为0).
79.两条直线的平行和垂直
(1)若,
①;
②.
(2)若,,且A1,A2,B1,B2都不为零,
①;
②;
80.夹角公式
(1).
(,,)
(2).
(,,).
直线时,直线l1与l2的夹角是.
81. 到的角公式
(1).
(,,)
(2).
(,,).
直线时,直线l1到l2的角是.
82.四种常用直线系方程
(1)定点直线系方程:经过定点的直线系方程为(除直线),其中是待定的系数; 经过定点的直线系方程为,其中是待定的系数.
(2)共点直线系方程:经过两直线,的交点的直线系方程为(除),其中λ是待定的系数.
(3)平行直线系方程:直线中当斜率k一定而b变动时,表示平行直线系方程.与直线平行的直线系方程是(),λ是参变量.
(4)垂直直线系方程:与直线 (A≠0,B≠0)垂直的直线系方程是,λ是参变量.
83.点到直线的距离
(点,直线:).
84. 或所表示的平面区域
设直线,则或所表示的平面区域是:
若,当与同号时,表示直线的上方的区域;当与异号时,表示直线的下方的区域.简言之,同号在上,异号在下.
若,当与同号时,表示直线的右方的区域;当与异号时,表示直线的左方的区域. 简言之,同号在右,异号在左.
85. 或所表示的平面区域
设曲线(),则
或所表示的平面区域是:
所表示的平面区域上下两部分;
所表示的平面区域上下两部分.
86. 圆的四种方程
(1)圆的标准方程 .
(2)圆的一般方程 (>0).
(3)圆的参数方程 .
(4)圆的直径式方程 (圆的直径的端点是,).
87. 圆系方程
(1)过点,的圆系方程是
,其中是直线的方程,λ是待定的系数.
(2)过直线:与圆:的交点的圆系方程是,λ是待定的系数.
(3) 过圆:与圆:的交点的圆系方程是,λ是待定的系数.
88.点与圆的位置关系
点与圆的位置关系有三种
若,则
点在圆外;点在圆上;点在圆内.
89.直线与圆的位置关系
直线与圆的位置关系有三种:
;
;
.
其中.
90.两圆位置关系的判定方法
设两圆圆心分别为O1,O2,半径分别为r1,r2,
;
;
;
;
.
91.圆的切线方程
(1)已知圆.
①若已知切点在圆上,则切线只有一条,其方程是
.
当圆外时, 表示过两个切点的切点弦方程.
②过圆外一点的切线方程可设为,再利用相切条件求k,这时必有两条切线,注意不要漏掉平行于y轴的切线.
③斜率为k的切线方程可设为,再利用相切条件求b,必有两条切线.
(2)已知圆.
①过圆上的点的切线方程为;
②斜率为的圆的切线方程为.
92.椭圆的参数方程是.
93.椭圆焦半径公式
,.
94.椭圆的的内外部
(1)点在椭圆的内部.
(2)点在椭圆的外部.
95. 椭圆的切线方程
(1)椭圆上一点处的切线方程是.
(2)过椭圆外一点所引两条切线的切点弦方程是
.
(3)椭圆与直线相切的条件是.
96.双曲线的焦半径公式
,.
97.双曲线的内外部
(1)点在双曲线的内部.
(2)点在双曲线的外部.
98.双曲线的方程与渐近线方程的关系
(1)若双曲线方程为渐近线方程:.
(2)若渐近线方程为双曲线可设为.
(3)若双曲线与有公共渐近线,可设为(,焦点在x轴上,,焦点在y轴上).
99. 双曲线的切线方程
(1)双曲线上一点处的切线方程是.
(2)过双曲线外一点所引两条切线的切点弦方程是
.
(3)双曲线与直线相切的条件是.
100. 抛物线的焦半径公式
抛物线焦半径.
过焦点弦长.
101.抛物线上的动点可设为P或 P,其中 .
102.二次函数的图象是抛物线:(1)顶点坐标为;(2)焦点的坐标为;(3)准线方程是.
103.抛物线的内外部
(1)点在抛物线的内部.
点在抛物线的外部.
(2)点在抛物线的内部.
点在抛物线的外部.
(3)点在抛物线的内部.
点在抛物线的外部.
(4) 点在抛物线的内部.
点在抛物线的外部.
104. 抛物线的切线方程
(1)抛物线上一点处的切线方程是.
(2)过抛物线外一点所引两条切线的切点弦方程是.
(3)抛物线与直线相切的条件是.
105.两个常见的曲线系方程
(1)过曲线,的交点的曲线系方程是
(为参数).
(2)共焦点的有心圆锥曲线系方程,其中.当时,表示椭圆; 当时,表示双曲线.
106.直线与圆锥曲线相交的弦长公式 或
(弦端点A,由方程 消去y得到,,为直线的倾斜角,为直线的斜率).
107.圆锥曲线的两类对称问题
(1)曲线关于点成中心对称的曲线是.
(2)曲线关于直线成轴对称的曲线是
.
108."四线"一方程
对于一般的二次曲线,用代,用代,用代,用代,用代即得方程
,曲线的切线,切点弦,中点弦,弦中点方程均是此方程得到.
109.证明直线与直线的平行的思考途径
(1)转化为判定共面二直线无交点;
(2)转化为二直线同与第三条直线平行;
(3)转化为线面平行;
(4)转化为线面垂直;
(5)转化为面面平行.
110.证明直线与平面的平行的思考途径
(1)转化为直线与平面无公共点;
(2)转化为线线平行;
(3)转化为面面平行.
111.证明平面与平面平行的思考途径
(1)转化为判定二平面无公共点;
(2)转化为线面平行;
(3)转化为线面垂直.
112.证明直线与直线的垂直的思考途径
(1)转化为相交垂直;
(2)转化为线面垂直;
(3)转化为线与另一线的射影垂直;
(4)转化为线与形成射影的斜线垂直.
113.证明直线与平面垂直的思考途径
(1)转化为该直线与平面内任一直线垂直;
(2)转化为该直线与平面内相交二直线垂直;
(3)转化为该直线与平面的一条垂线平行;
(4)转化为该直线垂直于另一个平行平面;
(5)转化为该直线与两个垂直平面的交线垂直.
114.证明平面与平面的垂直的思考途径
(1)转化为判断二面角是直二面角;
(2)转化为线面垂直.
115.空间向量的加法与数乘向量运算的运算律
(1)加法交换律:a+b=b+a.
(2)加法结合律:(a+b)+c=a+(b+c).
(3)数乘分配律:λ(a+b)=λa+λb.
116.平面向量加法的平行四边形法则向空间的推广
始点相同且不在同一个平面内的三个向量之和,等于以这三个向量为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所表示的向量.
117.共线向量定理
对空间任意两个向量a,b(b≠0 ),a‖b存在实数λ使a=λb.
三点共线.
,共线且不共线且不共线.
118.共面向量定理
向量p与两个不共线的向量a,b共面的存在实数对,使.
推论 空间一点P位于平面MAB内的存在有序实数对,使,
或对空间任一定点O,有序实数对,使.
119.对空间任一点和不共线的三点A,B,C,满足(),则当时,对于空间任一点,总有P,A,B,C四点共面;当时,若平面ABC,则P,A,B,C四点共面;若平面ABC,则P,A,B,C四点不共面.
四点共面与,共面
(平面ABC).
120.空间向量基本定理
如果三个向量a,b,c不共面,那么对空间任一向量p,存在一个唯一的有序实数组x,y,z,使p=xa+yb+zc.
推论 设O,A,B,C是不共面的四点,则对空间任一点P,都存在唯一的三个有序实数x,y,z,使.
121.射影公式
已知向量=a和轴,e是上与同方向的单位向量.作A点在上的射影,作B点在上的射影,则
〈a,e〉=a·e
122.向量的直角坐标运算
设a=,b=则
(1)a+b=;
(2)a-b=;
(3)λa= (λ∈R);
(4)a·b=;
123.设A,B,则
= .
124.空间的线线平行或垂直
设,,则
;
.
125.夹角公式
设a=,b=,则
cos〈a,b〉=.
推论 ,此即三维柯西不等式.
126. 四面体的对棱所成的角
四面体中, 与所成的角为,则
.
127.异面直线所成角
=
(其中()为异面直线所成角,分别表示异面直线的方向向量)
128.直线与平面所成角
(为平面的法向量).
129.若所在平面若与过若的平面成的角,另两边,与平面成的角分别是,,为的两个内角,则
.
特别地,当时,有
.
130.若所在平面若与过若的平面成的角,另两边,与平面成的角分别是,,为的两个内角,则
.
特别地,当时,有
.
131.二面角的平面角
或(,为平面,的法向量).
132.三余弦定理
设AC是α内的任一条直线,且BC⊥AC,垂足为C,又设AO与AB所成的角为,AB与AC所成的角为,AO与AC所成的角为.则.
133. 三射线定理
若夹在平面角为的二面角间的线段与二面角的两个半平面所成的角是,,与二面角的棱所成的角是θ,则有 ;
(当且仅当时等号成立).
134.空间两点间的距离公式
若A,B,则
=.
135.点到直线距离
(点在直线上,直线的方向向量a=,向量b=).
136.异面直线间的距离
(是两异面直线,其公垂向量为,分别是上任一点,为间的距离).
137.点到平面的距离
(为平面的法向量,是经过面的一条斜线,).
138.异面直线上两点距离公式
.
.
().
(两条异面直线a,b所成的角为θ,其公垂线段的长度为h.在直线a,b上分别取两点E,F,,,).
139.三个向量和的平方公式

140. 长度为的线段在三条两两互相垂直的直线上的射影长分别为,夹角分别为,则有
.
(立体几何中长方体对角线长的公式是其特例).
141. 面积射影定理
.
(平面多边形及其射影的面积分别是,,它们所在平面所成锐二面角的为).
142. 斜棱柱的直截面
已知斜棱柱的侧棱长是,侧面积和体积分别是和,它的直截面的周长和面积分别是和,则
①.
②.
143.作截面的依据
三个平面两两相交,有三条交线,则这三条交线交于一点或互相平行.
144.棱锥的平行截面的性质
如果棱锥被平行于底面的平面所截,那么所得的截面与底面相似,截面面积与底面面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比(对应角相等,对应边对应成比例的多边形是相似多边形,相似多边形面积的比等于对应边的比的平方);相应小棱锥与小棱锥的侧面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比.
145.欧拉定理(欧拉公式)
(简单多面体的顶点数V,棱数E和面数F).
(1)=各面多边形边数和的一半.特别地,若每个面的边数为的多边形,则面数F与棱数E的关系:;
(2)若每个顶点引出的棱数为,则顶点数V与棱数E的关系:.
146.球的半径是R,则
其体积,
其表面积.
147.球的组合体
(1)球与长方体的组合体:
长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长.
(2)球与正方体的组合体:
正方体的内切球的直径是正方体的棱长, 正方体的棱切球的直径是正方体的面对角线长, 正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长.
(3) 球与正四面体的组合体:
棱长为的正四面体的内切球的半径为,外接球的半径为.
148.柱体,锥体的体积
(是柱体的底面积,是柱体的高).
(是锥体的底面积,是锥体的高).
149.分类计数原理(加法原理)
.
150.分步计数原理(乘法原理)
.
151.排列数公式
==.(,∈N*,且).
注:规定.
152.排列恒等式
(1);
(2);
(3);
(4);
(5).
(6) .
153.组合数公式
===(∈N*,,且).
154.组合数的两个性质
(1)= ;
(2) +=.
注:规定.
155.组合恒等式
(1);
(2);
(3);
(4)=;
(5).
(6).
(7).
(8).
(9).
(10).
156.排列数与组合数的关系
.
157.单条件排列
以下各条的大前提是从个元素中取个元素的排列.
(1)"在位"与"不在位"
①某(特)元必在某位有种;②某(特)元不在某位有(补集思想)(着眼位置)(着眼元素)种.
(2)紧贴与插空(即相邻与不相邻)
①定位紧贴:个元在固定位的排列有种.
②浮动紧贴:个元素的全排列把k个元排在一起的排法有种.注:此类问题常用捆绑法;
③插空:两组元素分别有k,h个(),把它们合在一起来作全排列,k个的一组互不能挨近的所有排列数有种.
(3)两组元素各相同的插空
个大球个小球排成一列,小球必分开,问有多少种排法
当时,无解;当时,有种排法.
(4)两组相同元素的排列:两组元素有m个和n个,各组元素分别相同的排列数为.
158.分配问题
(1)(平均分组有归属问题)将相异的,个物件等分给个人,各得件,其分配方法数共有.
(2)(平均分组无归属问题)将相异的·个物体等分为无记号或无顺序的堆,其分配方法数共有
.
(3)(非平均分组有归属问题)将相异的个物体分给个人,物件必须被分完,分别得到,,…,件,且,,…,这个数彼此不相等,则其分配方法数共有.
(4)(非完全平均分组有归属问题)将相异的个物体分给个人,物件必须被分完,分别得到,,…,件,且,,…,这个数中分别有a,b,c,…个相等,则其分配方法数有 .
(5)(非平均分组无归属问题)将相异的个物体分为任意的,,…,件无记号的堆,且,,…,这个数彼此不相等,则其分配方法数有.
(6)(非完全平均分组无归属问题)将相异的个物体分为任意的,,…,件无记号的堆,且,,…,这个数中分别有a,b,c,…个相等,则其分配方法数有.
(7)(限定分组有归属问题)将相异的()个物体分给甲,乙,丙,……等个人,物体必须被分完,如果指定甲得件,乙得件,丙得件,…时,则无论,,…,等个数是否全相异或不全相异其分配方法数恒有
.
159."错位问题"及其推广
贝努利装错笺问题:信封信与个信封全部错位的组合数为
.
推广: 个元素与个位置,其中至少有个元素错位的不同组合总数为
.
160.不定方程的解的个数
(1)方程()的正整数解有个.
(2) 方程()的非负整数解有 个.
(3) 方程()满足条件(,)的非负整数解有个.
(4) 方程()满足条件(,)的正整数解有个.
161.二项式定理 ;
二项展开式的通项公式
.
162.等可能性事件的概率
.
163.互斥事件A,B分别发生的概率的和
P(A+B)=P(A)+P(B).
164.个互斥事件分别发生的概率的和
P(A1+A2+…+An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An).
165.独立事件A,B同时发生的概率
P(A·B)= P(A)·P(B).
166.n个独立事件同时发生的概率
P(A1· A2·…· An)=P(A1)· P(A2)·…· P(An).
167.n次独立重复试验中某事件恰好发生k次的概率
168.离散型随机变量的分布列的两个性质
(1);
(2).
169.数学期望
170.数学期望的性质
(1).
(2)若～,则.
(3) 若服从几何分布,且,则.
171.方差
172.标准差
=.
173.方差的性质
(1);
(2)若～,则.
(3) 若服从几何分布,且,则.
174.方差与期望的关系
.
175.正态分布密度函数
,式中的实数μ,(>0)是参数,分别表示个体的平均数与标准差.
176.标准正态分布密度函数
.
177.对于,取值小于x的概率
.
.
178.回归直线方程
,其中.
179.相关系数
.
|r|≤1,且|r|越接近于1,相关程度越大;|r|越接近于0,相关程度越小.
180.特殊数列的极限
(1).
(2).
(3)(无穷等比数列 ()的和).
181. 函数的极限定理
.
182.函数的夹逼性定理
如果函数f(x),g(x),h(x)在点x0的附近满足:
(1);
(2)(常数),
则.
本定理对于单侧极限和的情况仍然成立.
183.几个常用极限
(1),();
(2),.
184.两个重要的极限
(1);
(2)(e=2.718281845…).
185.函数极限的四则运算法则
若,,则
(1);
(2);
(3).
186.数列极限的四则运算法则
若,则
(1);
(2);
(3)
(4)( c是常数).
187.在处的导数(或变化率或微商)
.
188.瞬时速度
.
189.瞬时加速度
.
190.在的导数
.
191. 函数在点处的导数的几何意义
函数在点处的导数是曲线在处的切线的斜率,相应的切线方程是.
192.几种常见函数的导数
(1) (C为常数).
(2) .
(3) .
(4) .
(5) ;.
(6) ; .
193.导数的运算法则
(1).
(2).
(3).
194.复合函数的求导法则
设函数在点处有导数,函数在点处的对应点U处有导数,则复合函数在点处有导数,且,或写作.
195.常用的近似计算公式(当充小时)
(1);;
(2); ;
(3);
(4);
(5)(为弧度);
(6)(为弧度);
(7)(为弧度)
196.判别是极大(小)值的方法
当函数在点处连续时,
(1)如果在附近的左侧,右侧,则是极大值;
(2)如果在附近的左侧,右侧,则是极小值.
197.复数的相等
.()
198.复数的模(或绝对值)
==.
199.复数的四则运算法则
(1);
(2);
(3);
(4).
200.复数的乘法的运算律
对于任何,有
交换律:.
结合律:.
分配律: .
201.复平面上的两点间的距离公式
(,).
202.向量的垂直
非零复数,对应的向量分别是,,则
的实部为零为纯虚数
(λ为非零实数).
203.实系数一元二次方程的解
实系数一元二次方程,
①若,则;
②若,则;
③若,它在实数集内没有实数根;在复数集内有且仅有两个共轭复数根.
(n为偶数)
(n为奇数)
(n为偶数)
(n为奇数)