鸡兔同笼知识点

鸡兔同笼”是我国古代的一类有名的算术题，最早出现在《孙子算经》中。《孙子算经》里面有这么一道题：“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何?”转化成为现在的话来说就是：“现在把一群鸡和一群兔子关到一起，有个人去数一下，从上面数，发现一共有35个头，从下面数，发现有94条腿，问有多少只鸡，多少只兔子?”
 
(一)假设法
首先我们用一种常规的方法来做做这道题。我们知道，一只鸡有2条腿，一只兔子有4条腿，现在一共有35只动物，却有94条腿，说明鸡和兔都是存在的。我们假设所有的动物都是鸡，那么35个动物就应该有70条腿，这样就少了24条腿，对吧?大家可以想一想，这24条腿是从何而来的?原因就出在我们的假设中，我们把所有的动物都看成是鸡，而实际上每一只兔子是比鸡多了2条腿，这24条腿应该就是因为我们把12只兔子看成了鸡，也就是说应该有12只兔子，那鸡就应该有35-12=23只。
我们总结一下上面的推导过程，可以知道“设鸡求兔”的公式为：
兔头数=(总足数-2×总头数)÷(4-2)
鸡头数=总头数-兔头数
我们还可以通过假设全部动物是兔子来求。如果所有的动物都是兔子，那么就应该有4×35=140条腿，比已知多了46条腿，我们也可以很明显看出，这46条腿就是我们把鸡算成了兔子的结果，每一只鸡多算了2条腿，所以，鸡的数量应该是46÷2=23只，兔子的数量为35-23=12只。两种方法得出来的结果完全一样。
我们同样总结一下，“设兔求鸡”的公式为：
鸡头数=(4×总头数-总足数)÷(4-2)
兔头数=总头数-鸡头数
大家注意一下这两组公式，很重要的结论就出来了：
我们如果要求兔的数量，就要把所有的动物假设为鸡来求;如果要求鸡的数量，那就把所有的动物假设是兔子。也就是说，在鸡兔同笼问题中，如果我们要求其中一种东西时，就把所有的东西都当成是另一种东西，这样就能求出它的数量了。
(二)方程法
也许有同学觉得刚才的假设法很复杂，想起来总是在绕圈子，那么我现在来介绍另外一种简单明了的方法——方程法。还是上面那道题，我们再来仔细看一下，题目要求的是鸡和兔子的数量，那我们简单的把鸡的数量写成鸡，兔的数量写成兔，也就是说鸡+兔=35。现在再来看腿的情况，鸡有2条腿，兔有4条腿，那么来算腿的数量，就有2鸡+4兔=94。我们现在把两个方程放到一起：鸡+兔=35，2鸡+4兔=94，这个方程很容易能够解出来，大家可以算一下，得到，鸡有23只，兔有12只。
用方程法来解这类问题，只需要分别假设出这些东西的数量，然后很容易就能列出二元一次方程组来求解。
(一)基础题型：已知头数和腿数，求各自的数量
这是最基础的题型，大家可以尝试着分别用以上两种方法来试一下。
例题1：在同一个笼子中，有若干只鸡和兔，从笼子上看有40个头，从笼子下数有130只脚，那么这个笼子中装有兔、鸡各多少只?
【答案详解】方法一，利用假设法。假设全是鸡或全是兔，脚的总数必然要多或少，通过脚数与实际数之差，可以知道造成差的原因，于是知道应有多少只兔或应有多少只鸡。
设鸡求兔：
兔：(130-2×40)÷(4-2)=25
鸡：40-25=15
设兔求鸡：
鸡：(4×40-130)÷(4-2)=15
兔：40-15=25
方法二，利用方程法。设笼子中装有鸡、兔分别为x只、y只，则根据条件可得
x+y=40，2x+4y=130。 解得x=15，y=25。
(二)已知头数与腿数之差，求各自的数量
这类问题会告诉你，鸡和兔子一共有多少只，然后告诉你鸡的总腿数比兔多多少，或者少多少，然后让你来求鸡和兔子的数量。大家来看一下这道题，看看应该怎么来做。
例题2：鸡与兔共100只，鸡的脚数比兔的脚数少28，问鸡与兔各几只?
【答案详解】方法一，假如再补上28÷2=14只鸡，那么鸡与兔脚数就相等，每只兔的脚数是每只鸡的脚数的2倍，则鸡的只数是兔的只数的2倍，所以
兔：(100+14)÷(2+1)=38只，
鸡：100-38=62只;
当然也可以去掉兔28÷4=7只，
兔：(100-7)÷(2+1)+7=38只，
鸡：100-38=62只。
方法二，任意假设一个数。
假设有50只鸡，就有兔100-50=50只。此时脚数之差是4×50-2×50=100，比28多了72，就说明假设的兔数多了、鸡数少了。为保持总数是100，一只兔换成一只鸡，少了4只兔脚，多了2只鸡脚，相差为6只(注意不是2)。因此要减少的兔数是：
(100-28)÷(4+2)=12只，
兔：50-12=38只。
鸡：50+12=62只。
方法三，方程法。
设鸡有x只、兔有y只，则
x+y=100，4y-2x=28，解得x=62，y=38。
(三)“三者同笼”问题
有时候大家觉得两种动物放在一起还不够复杂，这时候他们会把三种动物放在一起，然后让你们来求。大家来看看下面这道题：
例题3：蜘蛛有8条腿，蜻蜓有6条腿和2对翅膀，蝉有6条腿和1对翅膀，