在△ABC中，AC=4,AB=8,BC=6,AE,AD分别是BC边上的高和中线，求DE长

解:因为 AE是BC边上的高,
所以 角AED=90度,
在三角形ACE和三角形ABE中,由勾股定理分别可得:
AC^2--CE^2=AE^2, AB^2--BE^2=AE^2,
所以 AC^2--CE^2=AB^2--BE^2,
即: AB^2--AC^2=BE^2--CE^2
=(BE+CE)(BE--CE)
=BC(BE+CE),
因为 AC=4, AB=8, BC=6,
所以 64--16=6(BE+CE)
所以 BE+CE=8,
因为 BE--CE=BC=6,
所以 BE=7, CE=1,
因为 AD是BC边上的中线,
所以 BD=1/2BC=3,
所以 DE=BE--BD=7--3=4.

解用余弦定理的推论
即cosACB=(AC²+CB²-AB²）/2AC*AB=(4²+6²-8²）/2*4*6=-1/4
即cosACE=1/4
即CE=AC*cosACE=4*1/4=1
又D是BC的中点
即CD=1/2BC=1/2*6=3
即DE=CE+CD=1+3=4

设 EC=x
AC=4
在直角三角形AEC中：
AE^2=AC^2-EC^2=16-x^2
在直角三角形ABE中：
AB=8，BC=6 ，BE=BC+EC=6+x
AB^2=AE^2+BE^2
即：64=16-x^2+(6+x)^2=16+36+12x=52+12x
解得：x=1 即EC=1
D为BC的中点，CD=BC/2=6/2=3
DE=EC+CD=1+3=4