求证：数列根号下2，根号下2+根号2，根号下2+根号下2+根号下2，……的极限存在。

设极限为x，则An=根号(2+根号(2+...))，A(n+1）=根号(2+An)，左右去极限得到，x=根号(2+x)，所以x*x=2+x，所以x*x-x-2=0，所以(x-2)(x+1)=0，所以x=2,(舍去x=-1)。

学习微积分学，首要的一步就是要理解到，“极限”引入的必要性：因为，代数是人们已经熟悉的概念，但是，代数无法处理“无限”的概念。

所以为了要利用代数处理代表无限的量，于是精心构造了“极限”的概念。

在“极限”的定义中，我们可以知道，这个概念绕过了用一个数除以0的麻烦，而引入了一个过程任意小量。

就是说，除数不是零，所以有意义，同时，这个过程小量可以取任意小，只要满足在Δ的区间内，都小于该任意小量。

我们就说他的极限为该数——你可以认为这是投机取巧，但是，他的实用性证明，这样的定义还算比较完善，给出了正确推论的可能，这个概念是成功的。

数列极限标准定义：对数列{xn}，若存在常数a，对于任意ε>0，总存在正整数N，使得当n>N时，|xn-a|<ε成立，那么称a是数列{xn}的极限。

函数极限标准定义：设函数f(x),|x|大于某一正数时有定义，若存在常数A，对于任意ε>0，总存在正整数X，使得当x>X时，|f(x)-A|<ε成立，那么称A是函数f(x)在无穷大处的极限。

设函数f(x)在x0处的某一去心邻域内有定义，若存在常数A，对于任意ε>0，总存在正数δ，使得当|x-xo|<δ时，|f(x)-A|<ε成立，那么称A是函数f(x)在x0处的极限。

设极限为x
则An=根号(2+根号(2+...))
A(n+1）=根号(2+An)
左右去极限得到
x=根号(2+x)
所以x*x=2+x
所以x*x-x-2=0
所以(x-2)(x+1)=0
所以x=2，(舍去x=-1)

证明不对，楼主别糊涂。
首先你必须说明这个极限存在，才能有下面的公式，如果没有证明存在性就用公式是不对的。
证明存在性的判据就是：单调递增有上界
1，单调递增没什么问题
2，有上界用数学归纳法证明，an《=2，[a(n+1)]^2=an+2<=4,a(n+1)<=2,所以有上界

你要没分了。。。

极限值为2